Iterative Method
「疊代法」。以確定的部分作為起始點，循序漸進推演，最後求得答案。
「疊代法」也會有無窮無盡的情況，例如以試除法建立質數，質數是越建越多；又例如微積分所學的牛頓法，遇到曲線時，小數位數是越算越多。
寫程式時經常以迴圈來實作。因為迴圈事實上也可以用遞迴來完成，所以讀者也可以利用遞迴來實作，只不過我想大家沒必要這麼無聊。
Recursive Method
「遞歸法」。找出一套縮小問題範疇的規律，以此不斷縮小問題，直到能釐清細節，便可歸納答案。
「遞歸法」也會有無窮無盡的情況，例如碎形是越分越細緻。
寫程式時主要以遞迴來實作。因為遞迴也可以用stack 和迴圈來完成，所以讀者也可以利用迴圈來實作，只不過我想大家沒必要這麼累。
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比較 Iterative Method 與 Recursive Method
Iterative Method 與 Recursive Method 有種對立的味道： Iterative Method 是針對已知，逐步累積，直至周全； Recursive 是針對未知，反覆拆解，直至精細。
Collatz Conjecture
Collatz Conjecture
就是俗稱的「 3n+1 問題」，至今尚未有人能證明其正確性。有趣的是，目前也尚未檢查出任何反例。
Iterative Method ，用迴圈實作。
只要一步一步地計算，最後便能解出答案來。
int step(int n) // 計算出 n 收斂到 1 所經過的次數{ int t; // 次數 for (t = 0; n > 1; ++t) // 一步一步趨近答案 if (n % 2 == 0) n /= 2; else n = n * 3 + 1; return t;}Iterative Method ，將迴圈改為遞迴。
仍舊是一步一步地計算，但改為遞迴呼叫下一步，可說是吃飽太閒。
int t = 0; // 次數 void PRocess(int n) // 處理一個步驟（當數值為 n 時）{ if (n == 1) return; // 已經到了最後一個步驟了 /////////////////////////////////////// if (n % 2 == 0) // 開始進行目前的步驟 n /= 2; else n = n * 3 + 1; t++; // 累計步驟數目 process(n); // 繼續下一個步驟}Recursive Method
將問題反覆拆解成更小的問題。在 Collatz Conjecture 中，數字會逐步收斂──這也就是說，數字經過除以二、乘以三再加一的計算後，問題範疇就會縮小。在這裡，我們讓數字做了一次的計算，來縮小問題。
int step(int n) // 計算出 n 收斂到 1 所經過的次數{ if (n == 1) return 0; // 問題已經縮小至清晰可解，遞迴可以結束了。 /////////////////////////////////////// if (n % 2 == 0) // 求出經過一次計算後的 n 值 n /= 2; else n = n * 3 + 1; return 1 + step(n); // 遞迴呼叫函式以反覆縮小問題 // 答案即為 "一次計算" 加上 "小問題的答案" // return step(n) + 1; 也可以}討論
如果就演算法的設計策略來看，這些程式碼使用了不同的策略：前面兩支程式是 Iterative Method 、後面一支是 Recursive Method 。
但以實作的角度來看，這些程式碼卻又重新分為兩種樣式：前面一支程式是迴圈、後面兩支是長得差不多的遞迴。
以後面兩支程式來看，或許有人會覺得第二支的遞迴程式碼寫的不漂亮，只要改寫一下就是第三支的簡潔程式了。然而第二支程式和第三支程式，他們的設計理念是截然不同的。
由此可知，只是粗淺地閱讀程式碼，不見得就能夠了解整個解題思路的。設計方法（解題方法）和實作方式，這兩件事得好好的分辨清楚呀！
閒聊
這些程式都還可以再改進，讓執行效率變得更好。各位自行發揮創意吧！
另外，這個問題亦可歸類於是簡單的 Simulation 問題。
以下是我找到的相關類題：
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Stairs Climbing
爬樓梯
這裡介紹一個知名的爬樓梯問題：眼前有五階樓梯，每次可踏上一階或踏上兩階，那麼爬完五階共有幾種踏法？例如 (1,1,1,1,1) 是其中一種踏法， (1,2,1,1) 是另一種不同的踏法。
Iterative Method
我們先試著只爬少少的幾階樓梯，觀察一下踏法。
爬完一階的踏法很明顯的只有一種： (1) 。
至於爬完兩階的踏法有兩種： (1,1) 和 (2) 。
至於爬完三階的踏法：因為一次只能往上踏一階或兩階，所以只可能從第一階或從第二階踏上第三階。只要將 ( 爬完一階的踏法 ,1) ，再綜合 ( 爬完兩階的踏法,2) ，就是爬完三階的踏法。至於踏法種類數可直接相加求得。
同理，只要將 ( 爬完兩階的踏法 ,1) ，再綜合 ( 爬完三階的踏法 ,2) ，就是爬完四階的踏法。至於踏法種類數可直接相加求得。
迭代下去，就可求出爬完五階的踏法種類。
int stairs_climbing(int n = 5){ if (n == 1) return 1; else if (n == 2) return 2; int a = 1; // 爬完一階的踏法種類 int b = 2; // 爬完兩階的踏法種類 int c; // 依次求爬完三階到爬完n階的踏法種類 for (int i=3; i<=n; ++i) { c = a + b; a = b; b = c; } return c;}Recursive Method
我們由踏出的最後一步開始分析。
要「爬完五階」，最後一步一定是踏上第五階。要踏上第五階，只可能從第四階和第三階踏過來，也就是( 爬完四階的踏法 ,1) ，再綜合 ( 爬完三階的踏法 ,2) 。至於踏法種類數可直接相加求得。
但是我們不知道如何「爬完四階」和「爬完三階」，所以只好再分別研究「爬完四階」與「爬完三階」，反正它們一定又是由更之前的樓梯踏過來。只要不斷追究下去，問題必會漸漸簡單明朗，總有一天會撥雲見日。
追究到「爬完一階」與「爬完兩階」的時候，已經可以確認答案了。現在「爬完五階」的踏法種類也就清楚了！
int stairs_climbing(int n = 5){ if (n == 1) return 1; else if (n == 2) return 2; return stairs_climb(n-1) + stars_climb(n-2);}新闻热点
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