全排列算法思路解析

1.全排列的定义和公式：

从n个数中选取m（m<=n）个数按照一定的顺序进行排成一个列，叫作从n个元素中取m个元素的一个排列。由排列的定义，显然不同的顺序是一个不同的排列。从n个元素中取m个元素的所有排列的个数，称为排列数。从n个元素取出n个元素的一个排列，称为一个全排列。全排列的排列数公式为n!，通过乘法原理可以得到。

2.时间复杂度：

n个数（字符、对象）的全排列一共有n!种，所以全排列算法至少时间O(n!)$O(n!)$的。如果要对全排列进行输出，那么输出的时间要O(n∗n!)$O(n*n!)$，因为每一个排列都有n个数据。所以实际上，全排列算法对大型的数据是无法处理的，而一般情况下也不会要求我们去遍历一个大型数据的全排列。

3.列出全排列的初始思想：

解决一个算法问题，我比较习惯于从基本的想法做起，我们先回顾一下我们自己是如何写一组数的全排列的：1，3，5，9（为了方便，下面我都用数进行全排列而不是字符）。 【1，3，5，9】（第一个） 首先保持第一个不变，对【3，5，9】进行全排列。 同样地，我们先保持3不变，对【5，9】进行全排列。 保持5不变，对9对进行全排列，由于9只有一个，它的排列只有一种：9。 接下来5不能以5打头了，5，9相互交换，得到 【1，3，9，5】 此时5，9的情况都写完了，不能以3打头了，得到 1，5，3，9 1，5，9，3 1，9，3，5 1，9，5，3 这样，我们就得到了1开头的所有排列，这是我们一般的排列数生成的过程。再接着是以3、5、9打头，得到全排列。

我们现在做这样的一个假设，假设给定的一些序列中第一位都不相同，那么就可以认定说这些序列一定不是同一个序列，这是一个很显然的问题。有了上面的这一条结论，我们就可以同理得到如果在第一位相同，可是第二位不同，那么在这些序列中也一定都不是同一个序列。 那么，这个问题可以这样来看。对 T=【$T=【$x1,$x_1,$x2,x3,x4,x5,........xn−1,xn】$x_2,x_3,x_4,x_5,........x_{n-1},x_{n}】$ 我们获得了在第一个位置上的所有情况之后(注：是所有的情况)，对每一种情况，抽去序列T$T$中的第一个位置，那么对于剩下的序列可以看成是一个全新的序列 T1=【x2,x3,x4,x5,........xn−1,xn】$T_1=【x_2,x_3,x_4,x_5,........x_{n-1},x_{n}】$ 序列T1$T_1$可以认为是与之前的序列毫无关联了。同样的，我们可以对这个T1$T_1$进行与T$T$相同的操作，直到T$T$中只一个元素为止。这样我们就获得了所有的可能性。所以很显然，这是一个递归算法。 第一位的所有情况：无非是将x1$x_1$与后面的所有数x2,x3,.......xn$x_2,x_3,.......x_n$依次都交换一次

示意图如下：

4.全排列的非去重递归算法

算法思路：全排列可以看做固定前i位，对第i+1位之后的再进行全排列，比如固定第一位，后面跟着n-1位的全排列。那么解决n-1位元素的全排列就能解决n位元素的全排列了，这样的设计很容易就能用递归实现。

【附代码段：】

【注1】swap(str[i],str[sbegin])//交换回来 我们来仔细推敲一下循环体里的代码，当我们对序列进行交换之后，就将交换后的序列除去第一个元素放入到下一次递归中去了，递归完成了再进行下一次循环。这是某一次循环程序所做的工作，这里有一个问题，那就是在进入到下一次循环时，序列是被改变了。可是，如果我们要假定第一位的所有可能性的话，那么，就必须是在建立在这些序列的初始状态一致的情况下,所以每次交换后，要还原，确保初始状态一致。