[题解]bzoj3884 上帝与集合的正确用法

Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的： 第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。 第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。 第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。 第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。 如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。 然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素…… 然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。 至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？ 上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。 你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。 一句话题意：

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

3 2 3 6

Sample Output

0 1 4

HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

Source

By PoPoQQQ

Solution

首先欧拉定理： xa mod p=xa mod ϕ(p)+ϕ(p) mod p $$x^a/ mod/ p=x^{a/ mod/ /phi(p)+/phi(p)}/ mod/ p$$ 然后就没有然后了…… 因为设A=222222...$A=2^{2^{2^{2^{2^{2...}}}}}$， 那么根据欧拉定理有： A mod p=2A mod p=2A mod ϕ(p)+ϕ(p) mod p $$A/ mod/ p=2^A/ mod/ p=2^{A/ mod/ /phi(p)+/phi(p)}/ mod/ p$$ 所以递归做下去直到模数为1就好了。

代码：