二叉查找树

什么是二叉查找树

在数据结构中，有一个奇葩的东西，说它奇葩，那是因为它重要，这就是树。而在树中，二叉树又是当中的贵族。二叉树的一个重要应用是它们在查找中的应用，于是就有了二叉查找树。 使二叉树成为一颗二叉查找树，需要满足以下两点：

二叉查找树的基本操作

以下是对于二叉查找树的基本操作定义类，然后慢慢分析是如何实现它们的。

template<class T>

class BinarySearchTree{public:    // 构造函数，初始化root值    BinarySearchTree() : root(NULL){}    // 析构函数，默认实现    ~BinarySearchTree() {}    // 查找最小值，并返回最小值    const T &findMin() const;    // 查找最大值，并返回最大值    const T &findMax() const;    // 判断二叉树中是否包含指定值的元素    bool contains(const T &x) const;    // 判断二叉查找树是否为空    bool isEmpty() const { return root ? false : true; }    // 打印二叉查找树的值    void PRintTree() const;    // 向二叉查找树中插入指定值    void insert(const T &x);    // 删除二叉查找树中指定的值    void remove(const T &x);    // 清空整个二叉查找树    void makeEmpty() const;private:    // 指向根节点    BinaryNode<T> *root;    void insert(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const;    void remove(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const;    BinaryNode<T> *findMin(BinaryNode<T> *t) const;    BinaryNode<T> *findMax(BinaryNode<T> *t) const;    bool contains(const T &x, BinaryNode<T> *t) const;    void printTree(BinaryNode<T> *t) const;    void makeEmpty(BinaryNode<T> *&t) const;};

findMin和findMax实现

根据二叉查找树的性质：

对于树中的每个节点X，它的左子树中所有项的值都要小于X中的项；对于树中的每个节点Y，它的右子树中所有项的值都要大于X中的项。

我们可以从root节点开始：

一直沿着左节点往下找，直到子节点等于NULL为止，这样就可以找到最小值了；一直沿着右节点往下找，直到子节点等于NULL为止，这样就可以找到最大值了。

如下图所示：

在程序中实现时，有两种方法：

使用递归实现；使用非递归的方式实现。

对于finMin的实现，我这里使用递归的方式，代码参考如下：

BinaryNode<T> *BinarySearchTree<T>::findMin(BinaryNode<T> *t) const

{    if (t == NULL)    {        return NULL;    }    else if (t->left == NULL)    {        return t;    }    else    {        return findMin(t->left);    }}

在findMin()的内部调用findMin(BinaryNode<T> *t)，这样就防止了客户端知道了root根节点的信息。上面使用递归的方式实现了查找最小值，下面使用循环的方式来实现findMax。

template<class T>

BinaryNode<T> *BinarySearchTree<T>::findMax(BinaryNode<T> *t) const{    if (t == NULL)    {        return NULL;    }    while (t->right)    {        t = t->right;    }    return t;}

在很多面试的场合下，面试官一般都是让写出非递归的版本；而在对树进行的各种操作，很多时候都是使用的递归实现的，所以，在平时学习时，在理解递归版本的前提下，需要关心一下对应的非递归版本。

contains实现

contains用来判断二叉查找树是否包含指定的元素。代码实现如下：

template<class T>

bool BinarySearchTree<T>::contains(const T &x, BinaryNode<T> *t) const{    if (t == NULL)    {        return false;    }    else if (x > t->element)    {        return contains(x, t->right);    }    else if (x < t->element)    {        return contains(x, t->left);    }    else    {        return true;    }}

算法规则如下：

首先判断需要查找的值与当前节点值的大小关系；当小于当前节点值时，就在左节点中继续查找；当大于当前节点值时，就在右节点中继续查找；当找到该值时，直接返回true。

insert实现

insert函数用来向儿茶查找树中插入新的元素，算法处理如下：

首先判断需要插入的值域当前节点值得大小关系；当小于当前节点值时，就在左节点中继续查找插入点；当大于当前节点值时，就在右节点中继续查找插入点；当等于当前节点值时，什么也不干。

代码实现如下：

template<class T>

void BinarySearchTree<T>::insert(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const{    if (t == NULL)    {        t = new BinaryNode<T>(x, NULL, NULL);    }    else if (x < t->element)    {        insert(x, t->left);    }    else if (x > t->element)    {        insert(x, t->right);    }}

remove实现

remove函数用来删除二叉查找树中指定的元素值，这个处理起来比较麻烦。在删除子节点时，需要分以下几种情况进行考虑（结合下图进行说明）： 如下图所示：

需要删除的子节点，它没有任何子节点；例如图中的节点9、节点17、节点21、节点56和节点88；这些节点它们都没有子节点；需要删除的子节点，只有一个子节点（只有左子节点或右子节点）；例如图中的节点16和节点40；这些节点它们都只有一个子节点；需要删除的子节点，同时拥有两个子节点；例如图中的节点66等。

对于情况1，直接删除对应的节点即可；实现起来时比较简单的；

对于情况2，直接删除对应的节点，然后用其子节点占据删除掉的位置；

对于情况3，是比较复杂的。首先在需要被删除节点的右子树中找到最小值节点，然后使用该最小值替换需要删除节点的值，然后在右子树中删除该最小值节点。假如现在需要删除包含值23的节点，步骤如下图所示：

代码实现如下：

template<class T>

void BinarySearchTree<T>::remove(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const{    if (t == NULL)    {        return;    }    if (x < t->element)    {        remove(x, t->left);    }    else if (x > t->element)    {        remove(x, t->right);    }    else if (t->left != NULL && t->right != NULL)    {        // 拥有两个子节点        t->element = findMin(t->right)->element;        remove(t->element, t->right);    }    else if (t->left == NULL && t->right == NULL)    {        // 没有子节点，直接干掉        delete t;        t = NULL;    }    else if (t->left == NULL || t->right == NULL)    {        // 拥有一个子节点        BinaryNode *pTemp = t;        t = (t->left != NULL) ? t->left : t->right;        delete pTemp;    }}

makeEmpty实现

makeEmpty函数用来释放整个二叉查找树占用的内存空间，同理，也是使用的递归的方式来实现的。具体代码请下载文中最后提供的源码。

总结

这篇文章对数据结构中非常重要的二叉查找树进行了详细的总结，虽然二叉查找树非常重要，但是理解起来还是非常容易的，主要是需要掌握对递归的理解。如果对递归有非常扎实的理解，那么对于树的一些操作，那都是非常好把握的，而理解二叉查找树又是后续的AVL平衡树和红黑树的基础，希望这篇文章对大家有帮助。