Matlab中使用快速傅里叶变换（FFT）验证卷积定理

引言

本科微积分教材中讲过卷积定理，公式也非常容易背： 如果： g=h∗x $$g = h *x$$ 那么 G=HX $$G = HX$$ 这里 * 表示卷积，G$G$，H$H$和X$X$分别表示g$g$，h$h$和x$x$的傅里叶变换。H$H$与X$X$之间为点乘。 公式很容易记住，考试的时候也不在话下。但是当时有很多问题根本没有往下思考。比如，在二维矩阵中，h$h$与x$x$的大小可能不一致，这在卷积操作中没有问题。但在频域中（经过傅里叶变换后），H$H$与X$X$之间为点乘，而H$H$与X$X$的大小分别由空域中的h$h$，x$x$决定（相等）。那么H$H$与X$X$大小不等的时候，二者怎么点乘呢？

原理

所以在要分别对h$h$，x$x$做扩充，并使它们扩充之后大小一致。这样，在频域中二者就可以点乘了。

1. 扩充

在这里，我们通过在矩阵水平与垂直正方向补0$0$，把h∈Rc×d$h /in R^{c /times d}$，x∈Ra×b$x /in R^{a /times b}$都扩充至[a+c−1,b+d−1]$[a+c-1, b+d-1]$。原始的h$h$，x$x$数据处于补充矩阵的左上角。

2. 变换

这一步可以跟上一步一起用函数fft2解决：

这里fft2函数会自动扩充，然后进行变换。一开始以为是在原矩阵四周同时补0，后来经过验证发现MATLAB只在矩阵两个方向把0补齐即可。

3. 点乘，反变换

直接看代码：

g的大小与G相同，即扩充后的大小；gf截取至g，它的大小与原始矩阵x相同。

代码

既然是验证，这里就附上代码和结果以作验证：

经过验证，最后一张图像几乎全黑，意味这两种方式计算的结果是一致的。

附

conv2()函数得到不同大小的卷积结果

C = conv2(x, h, shape);

抽时间把conv2()具体怎么计算的讲明白。