STL全排列函数 next_permutation prev_permutation 及拓展

全排列的生成算法有很多种，有递归遍例，也有循环移位法等等。C++/STL中定义的next_permutation和PRev_permutation函数则是非常灵活且高效的一种方法，它被广泛的应用于为指定序列生成不同的排列。

下文内容都基于一个假设，即序列中不存在相同元素。对序列大小的比较做出定义：两个长度相同的序列，从两者的第一个元素开始向后比较，直到出现一个不同元素（也可能就是第它们的第一个元素），该元素较大的序列为大，反之序列为小；若一直到最后一个元素都相同，那么两个序列相等。

算法功能：给定任意非空序列，生成下一个较大或较小的序列。

头文件：#include <algorithm>

数学推导根据上述概念易知，对于一个任意序列，最小的序列是增序，最大的序列为减序。那么给定一个pn要如何才能生成pn+1呢？先来看下面的例子：我们用<a1 a2 ... am>来表示m个数的一种序列。设序列pn=<3 6 4 2>，根据定义可算得下一个序列pn+1=<4 2 3 6>。观察pn可以发现，其子序列<6 4 2>已经为减序，那么这个子序列不可能通过交换元素位置得出更大的序列了，因此必须移动最高位3（即a1）的位置，且要在子序列<6 4 2>中找一个数来取代3的位置。子序列<6 4 2>中6和4都比3大，但6大于4。如果用6去替换3得到的序列一定会大于4替换3得到的序列，因此只能选4。将4和3的位置对调后形成排列<4 6 3 2>。对调后得到的子序列<6 3 2>仍保持减序，即这3个数能够生成的最大的一种序列。而4是第1次作为首位的，需要右边的子序列最小，因此4右边的子序列应为<2 3 6>，这样就得到了正确的一个序列pn+1=<4 2 3 6>。下面归纳分析该过程。假设一个有m个元素的序列pn，其下一个较大序列为pn+1。1) 若pn最右端的2个元素构成一个增序子序列，那么直接反转这2个元素使该子序列成为减序，即可得到pn+1。2) 若pn最右端一共有连续的s个元素构成一个减序子序列，令i = m - s，则有pn(i) < pn(i+1)，其中pn(i)表示排列pn的第i个元素。例如pn=<1 2 5 4 3>，那么pn的右端最多有3个元素构成一个减序子集<5 4 3>，i=5-3=2，则有pn(i)=2 < 5=pn(i+1)。因此若将pn(i)和其右边的子集s {pn(i+1), pn(i+2), ..., pn(m)}中任意一个元素调换必能得到一个较大的序列（不一定是下一个）。要保证是下一个较大的序列，必须保持pn(i)左边的元素不动，并在子集s {pn(i+1), pn(i+2), ..., pn(m)}中找出所有比pn(i)大的元素中最小的一个pn(j)，即不存在pn(k) ∈ s且pn(i) < pn(k) < pn(j)，然后将二者调换位置。现在只要使新子集{pn(i+1), pn(i+2), ..., pn(i), ...,pn(m)}成为最小序列即得到pn+1。注意到新子集仍保持减序，那么此时直接将其反转即可得到pn+1 {pn(1), pn(2), ..., pn(j), pn(m), pn(m-1), ..., pn(i), ..., pn(i+2), pn(i+1)}。复杂度最好的情况为pn的最右边的2个元素构成一个最小的增序子集，交换次数为1，复杂度为O(1)，最差的情况为1个元素最小，而右面的所有元素构成减序子集，这样需要先将第1个元素换到最右，然后反转右面的所有元素。交换次数为1+(n-1)/2，复杂度为O(n)。因为各种排列等可能出现，所以平均复杂度即为O(n)。

扩展1. 能否直接算出集合{1, 2, ..., m}的第n个排列？设某个集合{a1, a2, ..., am}（a1<a2<...<am）构成的某种序列pn，基于以上分析易证得：若as<at，那么将as作为第1个元素的所有序列一定都小于at作为第1个元素的任意序列。同理可证得：第1个元素确定后，剩下的元素中若as'<at'，那么将as'作为第2个元素的所有序列一定都小于作为第2个元素的任意序列。例如4个数的集合{2, 3, 4, 6}构成的序列中，以3作为第1个元素的序列一定小于以4或6作为第1个元素的序列；3作为第1个元素的前题下，2作为第2个元素的序列一定小于以4或6作为第2个元素的序列。推广可知，在确定前i（i<n）个元素后，在剩下的m-i=s个元素的集合{aq1, aq2, ..., aq3}（aq1<aq2<...<aqm）中，以aqj作为第i+1个元素的序列一定小于以aqj+1作为第i+1个元素的序列。由此可知：在确定前i个元素后，一共可生成s!种连续大小的序列。根据以上分析，对于给定的n（必有n<=m!）可以从第1位开始向右逐位地确定每一位元素。在第1位不变的前题下，后面m-1位一共可以生成(m-1)!中连续大小的序列。若n>(m-1)!，则第1位不会是a1，n中可以容纳x个(m-1)!即代表第1位是ax。在确定第1位后，将第1位从原集合中删除，得到新的集合{aq1, aq2, ..., aq3}（aq1<aq2<...<aqm），然后令n1=n-x(m-1)!，求这m-1个数中生成的第n1个序列的第1位。举例说明：如7个数的集合为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，要求出第n=1654个排列。(1654 / 6!)取整得2，确定第1位为3，剩下的6个数{1, 2, 4, 5, 6, 7}，求第1654 % 6!=214个序列；(214 / 5!)取整得1，确定第2位为2，剩下5个数{1, 4, 5, 6, 7}，求第214 % 5!=94个序列；(94 / 4!)取整得3，确定第3位为6，剩下4个数{1, 4, 5, 7}，求第94 % 4!=22个序列；(22 / 3!)取整得3，确定第4位为7，剩下3个数{1, 4, 5}，求第22 % 3!=4个序列；(4 / 2!)得2，确定第5为5，剩下2个数{1, 4}；由于4 % 2!=0，故第6位和第7位为增序<1 4>；因此所有排列为：3267514。2. 给定一种排列，如何算出这是第几个排列呢？和前一个问题的推导过程相反。例如3267514：后6位的全排列为6!，3为{1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7}中第2个元素（从0开始计数），故2*720=1440；后5位的全排列为5!，2为{1, 2, 4, 5, 6, 7}中第1个元素，故1*5!=120；后4位的全排列为4!，6为{1, 4, 5, 6, 7}中第3个元素，故3*4!=72；后3位的全排列为3!，7为{1, 4, 5, 7}中第3个元素，故3*3!=18；后2位的全排列为2!，5为{1, 4, 5}中第2个元素，故2*2!=4；最后2位为增序，因此计数0，求和得：1440+120+72+18+4=1654

c++代码

输出所有的全排列，STL next_permutation 简单实现

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;int main(){    int a[]={1,2,3,4,5,6};    sort(a,a+6);    do    {        for(int i=0;i<6;i++)            cout<<a[i];        cout<<endl;    }while(next_permutation(a,a+6));    return 0;}STL prev_permutation 简单实现
#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;int main(){    int a[]={1,2,3,4,5,6};    sort(a,a+6);    reverse(a,a+6);    do    {        for(int i=0;i<6;i++)            cout<<a[i];        cout<<endl;    }while(prev_permutation(a,a+6));    return 0;}2，直接求出集合的第n个排列
#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>using namespace std;int main(){    int ans[10],jie[8],n;  //ans储存答案序列，jie储存阶乘值，n为第几个排列    jie[1]=1;    for(int k=2;k<=6;k++)   //打表阶乘        jie[k]=jie[k-1]*k;    while(cin>>n)    {    vector<int>a;    for(int i=1;i<8;i++)        a.push_back(i);    //初始化vector    int i=0,j=6;        while(!a.empty())        {        ans[i++]=a[n/jie[j]];        a.erase(a.begin()+n/jie[j]);   //删除取出的值        n%=jie[j--];        }        for(int k=0;k<i;k++)   //输出序列            cout<<ans[k];        cout<<endl;    }    return 0;}3，给定一个排列算出是第几个排列
#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>using namespace std;int main(){    int b[10],jie[8],ans;  //ans储存答案，jie储存阶乘值,b储存输入序列    jie[1]=1;    for(int k=2;k<=6;k++)   //打表阶乘        jie[k]=jie[k-1]*k;    char s[10];    while(cin>>s)    {        ans=0;        for(int k=0;k<7;k++)            b[k]=s[k]-'0';   //获取输入序列    vector<int>a;    for(int i=1;i<8;i++)        a.push_back(i);    //初始化vector    int i=0,j=6;        while(!a.empty())        {          int id=lower_bound(a.begin(),a.end(),b[i++])-a.begin();  //求出序列i个数的位置          ans+=id*jie[j--];          a.erase(a.begin()+id);  //移除使用过的数字        }        cout<<ans<<endl;    }    return 0;}