62. Unique Paths

Question:

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

此题首先想到数学方法即排列组合，如示例所示，可以将横着走每部之间可以插入竖着走的排列组合，首先3*7的矩阵，竖着走即可向下走的地方为7处，每处可能走0-2步，情况分为：

    1、连着走两步即 总共有7种

    2、先走一步再走一步，计算方法为选向下走时的的y坐标 即6(在y=1时向下走） +5+。。。+1 = 21

共28种

但当向下走的总步数多时情况复杂多比如3步数分为1，2；2，1；3；1，1，1；因此考虑递归方法

第一种递归为将子递归分为从第二行开始为起点，即3*7矩阵的话从第二行开始共有7个起点（7乘以2*7矩阵的步数）以此类推

代码为：

int uniquePaths(int m, int n) {    if(m==1 || n==1) return 1;    int s = 0;    while(n--)        s += uniquePaths(m-1,n+1) ;    return s;}第二种递归为：因每个起点只有两个初始出发点即（2，7）和（3，6）
int uniquePaths(int m, int n) {    if(m==1 || n==1) return 1;    return uniquePaths(m-1,n) + uniquePaths(m,n-1);}第二种更为简洁，但两份代码均未通过，当矩阵大于15后运算时间大于1s，因此声明静态局部变量，将已经运算后的结果储存避免多次计算：
int uniquePaths(int m, int n) {    static int a[100][100] = {0};    if(m==1 || n==1) return 1;    if(a[m-1][n-1] != 0) return a[m-1][n-1];    a[m-1][n-1] = uniquePaths(m-1,n) + uniquePaths(m,n-1);    return a[m-1][n-1];}