树状数组基础知识

2019-11-06 07:48:37

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供稿：网友

问题提出

已知数组a[],元素个数为n,现在要求a数组中i到j区间内的和(1<=i<=j<=n).

思考

我们完全可以存储sum[1,k](k=1,2,……),然后对任意给定的查找区间[i,j],都可以方便的用ans=sum[1,j]-sum[1,i-1],当然这只是没有元素改变的情况下的比较优化的解法.那么对于对于数组中的元素随时变更的情况下，我们能否还这么做呢？

如果仍然采取这样的方法，则每次数据有更新，则需要将更新的元素后的sum值全部再求一次。假设有m次查询或者更新操作，则时间复杂度将达到m*n了。有没有更好的办法来缩小这个时间复杂度吗？

可以想一下,每次更改的元素可能是比较少的,有时候甚至每次只改变一个元素,但是在用暴力方法求区间和的时候,却对区间内所有的元素都累加了一遍,这样其实造成了许多无谓的运算.这时候也许会想到如果能把一些结果存起来会不会减少很多运算?答案是肯定的,但问题是怎么存,存什么?

二进制思想

我们可以利用二进制的思想。树状数组

令这棵树的结点编号为C1，C2……Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现： C1 = A1 C2 = A1 + A2 C3 = A3 C4 = A1 + A2 + A3 + A4 C5 = A5 C6 = A5 + A6 C7 = A7 C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 …… C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16 这里A是原数组，C是树状数组。

这里有1个有趣的性质：设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（刚好为x的二进制中最后一个1表示的值）。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，所以很明显： Cx=A(x–2k+1)+……+Ax $C_x = A(x–2^k+1)+……+Ax$

算法

算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

int lowbit(int x){ return x&(x^(x–1));}

优化算法

当然，大家仔细回想一下以前学过的位运算，则lowbit还有这样的写法：

int lowbit(int x){ return x&-x;}

也可以这样写：

#define lowbit(x) (x&-x)

当想要查询一个SUM(n)时，可以依据如下算法即可： step1:　令sum = 0，转第二步； step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步； step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

n = n–lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

如果修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步； step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

基本函数

下面是树状数组的基本函数：

const int MAX = 50000;#define lowbit(x) (x&-x)int tree[MAX+1],N,T;//更新元素void update(int pos,int val){ while(pos<=N){ tree[pos]+=val; pos+=lowbit(pos); } }//求和int getsum(int x){ int sum=0; while(x>0){ sum+=tree[x]; x-=lowbit(x); } return sum;}//初始化int main(){ for(int i=1;i<=N;i++){ scanf("%d",&x); update(i,x); }}

树状数组比较适合用来求动态数组的区间之和.其最基本的函数是lowbit(x)。一次更新的时间复杂度是log(n) 一次求和是log(n). 对于最开始提出的问题，即n个元素的动态数组进行M次查询或更新，其总的时间复杂度为mlog(n). 树状数组的实现是非常简单，思想很巧妙，有一定的应用范围。大家一定要好好学会。