数据结构--最小生成树详解

2019-11-06 08:02:07

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来源：转载

供稿：网友

前言 A wise man changes his mind,a fool never. Name:Willam Time:2017/3/1

1、什么是最小生成树

现在假设有一个很实际的问题：我们要在n个城市中建立一个通信网络，则连通这n个城市需要布置n-1一条通信线路，这个时候我们需要考虑如何在成本最低的情况下建立这个通信网？于是我们就可以引入连通图来解决我们遇到的问题，n个城市就是图上的n个顶点，然后，边表示两个城市的通信线路，每条边上的权重就是我们搭建这条线路所需要的成本，所以现在我们有n个顶点的连通网可以建立不同的生成树，每一颗生成树都可以作为一个通信网，当我们构造这个连通网所花的成本最小时，搭建该连通网的生成树，就称为最小生成树。

构造最小生成树有很多算法，但是他们都是利用了最小生成树的同一种性质：MST性质（假设N=(V,{E})是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集，如果（u，v）是一条具有最小权值的边，其中u属于U，v属于V-U，则必定存在一颗包含边（u，v）的最小生成树），下面就介绍两种使用MST性质生成最小生成树的算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

2、普里姆算法—PRim算法

算法思路：首先就是从图中的一个起点a开始，把a加入U集合，然后，寻找从与a有关联的边中，权重最小的那条边并且该边的终点b在顶点集合：（V-U）中，我们也把b加入到集合U中，并且输出边（a，b）的信息，这样我们的集合U就有：{a,b}，然后，我们寻找与a关联和b关联的边中，权重最小的那条边并且该边的终点在集合：（V-U）中，我们把c加入到集合U中，并且输出对应的那条边的信息，这样我们的集合U就有：{a,b,c}这三个元素了，一次类推，直到所有顶点都加入到了集合U。

下面我们对下面这幅图求其最小生成树：

这里写图片描述

假设我们从顶点v1开始，所以我们可以发现（v1,v3）边的权重最小，所以第一个输出的边就是：v1—v3=1: 这里写图片描述

然后，我们要从v1和v3作为起点的边中寻找权重最小的边，首先了（v1,v3）已经访问过了，所以我们从其他边中寻找，发现(v3,v6)这条边最小，所以输出边就是：v3—-v6=4 这里写图片描述

然后，我们要从v1、v3、v6这三个点相关联的边中寻找一条权重最小的边，我们可以发现边(v6,v4)权重最小，所以输出边就是：v6—-v4=2. 这里写图片描述

然后，我们就从v1、v3、v6、v4这四个顶点相关联的边中寻找权重最小的边，发现边（v3，v2）的权重最小，所以输出边：v3—–v2=5 这里写图片描述

然后，我们就从v1、v3、v6、v4，v2这2五个顶点相关联的边中寻找权重最小的边，发现边（v2，v5）的权重最小，所以输出边：v2—–v5=3 这里写图片描述

最后，我们发现六个点都已经加入到集合U了，我们的最小生成树建立完成。

3、普里姆算法—代码实现

（1）采用的是邻接矩阵的方式存储图，代码如下

#include<iostream>#include<string>#include<vector>using namespace std;//首先是使用邻接矩阵完成Prim算法struct Graph { int vexnum; //顶点个数 int edge; //边的条数 int ** arc; //邻接矩阵 string *information; //记录每个顶点名称};//创建图void createGraph(Graph & g) { cout << "请输入顶点数：输入边的条数" << endl; cin >> g.vexnum; cin >> g.edge; //输入边的条数 g.information = new string[g.vexnum]; g.arc = new int*[g.vexnum]; int i = 0; //开辟空间的同时，进行名称的初始化 for (i = 0; i < g.vexnum; i++) { g.arc[i] = new int[g.vexnum]; g.information[i]="v"+ std::to_string(i+1);//对每个顶点进行命名 for (int k = 0; k < g.vexnum; k++) { g.arc[i][k] = INT_MAX; //初始化我们的邻接矩阵 } } cout << "请输入每条边之间的顶点编号(顶点编号从1开始),以及该边的权重：" << endl; for (i = 0; i < g.edge; i++) { int start; int end; cin >> start; //输入每条边的起点 cin >> end; //输入每条边的终点 int weight; cin >> weight; g.arc[start-1][end-1]=weight;//无向图的边是相反的 g.arc[end-1][start-1] = weight; }}//打印图void print(Graph g) { int i; for (i = 0; i < g.vexnum; i++) { //cout << g.information[i] << " "; for (int j = 0; j < g.vexnum; j++) { if (g.arc[i][j] == INT_MAX) cout << "∞" << " "; else cout << g.arc[i][j] << " "; } cout << endl; }}//作为记录边的信息，这些边都是达到end的所有边中，权重最小的那个struct Assis_array { int start; //边的终点 int end; //边的起点 int weight; //边的权重};//进行prim算法实现，使用的邻接矩阵的方法实现。void Prim(Graph g,int begin) { //close_edge这个数组记录到达某个顶点的各个边中的权重最大的那个边 Assis_array *close_edge=new Assis_array[g.vexnum]; int j; //进行close_edge的初始化，更加开始起点进行初始化 for (j = 0; j < g.vexnum; j++) { if (j != begin - 1) { close_edge[j].start = begin-1; close_edge[j].end = j; close_edge[j].weight = g.arc[begin - 1][j]; } } //把起点的close_edge中的值设置为-1，代表已经加入到集合U了 close_edge[begin - 1].weight = -1; //访问剩下的顶点，并加入依次加入到集合U for (j = 1; j < g.vexnum; j++) { int min = INT_MAX; int k; int index; //寻找数组close_edge中权重最小的那个边 for (k = 0; k < g.vexnum; k++) { if (close_edge[k].weight != -1) { if (close_edge[k].weight < min) { min = close_edge[k].weight; index = k; } } } //将权重最小的那条边的终点也加入到集合U close_edge[index].weight = -1; //输出对应的边的信息 cout << g.information[close_edge[index].start] << "-----" << g.information[close_edge[index].end] << "=" <<g.arc[close_edge[index].start][close_edge[index].end] <<endl; //更新我们的close_edge数组。 for (k = 0; k < g.vexnum; k++) { if (g.arc[close_edge[index].end][k] <close_edge[k].weight) { close_edge[k].weight = g.arc[close_edge[index].end][k]; close_edge[k].start = close_edge[index].end; close_edge[k].end = k; } } }}int main(){ Graph g; createGraph(g);//基本都是无向网图，所以我们只实现了无向网图 print(g); Prim(g, 1); system("pause"); return 0;}

输入：

6 101 2 61 3 11 4 52 3 52 5 33 5 63 6 44 3 54 6 25 6 6

输出：这里写图片描述

时间复杂度的分析：其中我们建立邻接矩阵需要的时间复杂度为：O(n*n),然后，我们Prim函数中生成最小生成树的时间复杂度为：O(n*n).

（2）采用的是邻接表的方式存储图，代码如下

#include<iostream>#include<string>using namespace std;//表结点struct ArcNode { int adjvex; //某条边指向的那个顶点的位置（一般是数组的下标）。 ArcNode * next; //指向下一个表结点 int weight; //边的权重};//头结点struct Vnode { ArcNode * firstarc; //第一个和该顶点依附的边的信息 string data; //记录该顶点的信息。};struct Graph_List { int vexnum; //顶点个数 int edge; //边的条数 Vnode * node; //顶点表};//创建图，是一个重载函数void createGraph(Graph_List &g) { cout << "请输入顶点数：输入顶点边的个数：" << endl; cin >> g.vexnum; cin >> g.edge; g.node = new Vnode[g.vexnum]; int i; for (i = 0; i < g.vexnum; i++) { g.node[i].data = "v" + std::to_string(i + 1); //对每个顶点进行命名 g.node[i].firstarc = NULL;//初始化每个顶点的依附表结点 } cout << "请输入每条边之间的顶点编号(顶点编号从1开始),以及该边的权重：" << endl; for (i = 0; i < g.edge; i++) { int start; int end; cin >> start; //输入每条边的起点 cin >> end; //输入每条边的终点 int weight; cin >> weight; ArcNode * next = new ArcNode; next->adjvex = end - 1; next->next = NULL; next->weight = weight; //如果第一个依附的边为空 if (g.node[start - 1].firstarc == NULL) { g.node[start - 1].firstarc = next; } else { ArcNode * temp; //临时表结点 temp = g.node[start - 1].firstarc; while (temp->next) {//找到表结点中start-1这个结点的链表的最后一个顶点 temp = temp->next; } temp->next = next; //在该链表的尾部插入一个结点 } //因为无向图边是双向的 ArcNode * next_2 = new ArcNode; next_2->adjvex = start - 1; next_2->weight = weight; next_2->next = NULL; //如果第一个依附的边为空 if (g.node[end - 1].firstarc == NULL) { g.node[end - 1].firstarc = next_2; } else { ArcNode * temp; //临时表结点 temp = g.node[end - 1].firstarc; while (temp->next) {//找到表结点中start-1这个结点的链表的最后一个顶点 temp = temp->next; } temp->next = next_2; //在该链表的尾部插入一个结点 } }}void print(Graph_List g) { cout<<"图的邻接表："<<endl; for (int i = 0; i < g.vexnum; i++) { cout << g.node[i].data << " "; ArcNode * next; next = g.node[i].firstarc; while (next) { cout << "("<< g.node[i].data <<","<<g.node[next->adjvex].data<<")="<<next->weight << " "; next = next->next; } cout << "^" << endl; }}////作为记录边的信息，这些边都是达到end的所有边中，权重最小的那个struct Assis_array { int start; //边的终点 int end; //边的起点 int weight; //边的权重};void Prim(Graph_List g, int begin) { cout << "图的最小生成树：" << endl; //close_edge这个数组记录到达某个顶点的各个边中的权重最大的那个边 Assis_array *close_edge=new Assis_array[g.vexnum]; int j; for (j = 0; j < g.vexnum; j++) { close_edge[j].weight = INT_MAX; } ArcNode * arc = g.node[begin - 1].firstarc; while (arc) { close_edge[arc->adjvex].end = arc->adjvex; close_edge[arc->adjvex].start = begin - 1; close_edge[arc->adjvex].weight = arc->weight; arc = arc->next; } //把起点的close_edge中的值设置为-1，代表已经加入到集合U了 close_edge[begin - 1].weight = -1; //访问剩下的顶点，并加入依次加入到集合U for (j = 1; j < g.vexnum; j++) { int min = INT_MAX; int k; int index; //寻找数组close_edge中权重最小的那个边 for (k = 0; k < g.vexnum; k++) { if (close_edge[k].weight != -1) { if (close_edge[k].weight < min) { min = close_edge[k].weight; index = k; } } } //输出对应的边的信息 cout << g.node[close_edge[index].start].data << "-----" << g.node[close_edge[index].end].data << "=" << close_edge[index].weight <<endl; //将权重最小的那条边的终点也加入到集合U close_edge[index].weight = -1; //更新我们的close_edge数组。 ArcNode * temp = g.node[close_edge[index].end].firstarc; while (temp) { if (close_edge[temp->adjvex].weight > temp->weight) { close_edge[temp->adjvex].weight = temp->weight; close_edge[temp->adjvex].start = index; close_edge[temp->adjvex].end = temp->adjvex; } temp = temp->next; } }}int main(){ Graph_List g; createGraph(g); print(g); Prim(g, 1); system("pause"); return 0;

输入：

6 101 2 61 3 11 4 52 3 52 5 33 5 63 6 44 3 54 6 25 6 6

输出：这里写图片描述

时间复杂分析：在建立图的时候的时间复杂为：O(n+e),在执行Prim算法的时间复杂还是：O(n*n)，总体来说还是邻接表的效率会比较高，因为虽然Prim算法的时间复杂度相同，但是邻接矩阵的那个常系数是比邻接表大的。

另外，Prim算法的时间复杂度都是和边无关的，都是O(n*n)，所以它适合用于边稠密的网建立最小生成树。但是了，我们即将介绍的克鲁斯卡算法恰恰相反，它的时间复杂度为：O(eloge)，其中e为边的条数，因此它相对Prim算法而言，更适用于边稀疏的网。

4、克鲁斯卡算法

算法思路：（1）将图中的所有边都去掉。（2）将边按权值从小到大的顺序添加到图中，保证添加的过程中不会形成环（3）重复上一步直到连接所有顶点，此时就生成了最小生成树。这是一种贪心策略。

这里同样我们给出一个和Prim算法讲解中同样的例子，模拟克鲁斯卡算法生成最小生成树的详细的过程：

首先完整的图如下图：这里写图片描述

然后，我们需要从这些边中找出权重最小的那条边，可以发现边（v1，v3）这条边的权重是最小的，所以我们输出边：v1—-v3=1 这里写图片描述

然后，我们需要在剩余的边中，再次寻找一条权重最小的边，可以发现边（v4，v6）这条边的权重最小，所以输出边：v4—v6=2 这里写图片描述

然后，我们再次从剩余边中寻找权重最小的边，发现边（v2，v5）的权重最小，所以可以输出边：v2—-v5=3，这里写图片描述

然后，我们使用同样的方式找出了权重最小的边：（v3，v6），所以我们输出边：v3—-v6=4 这里写图片描述

好了，现在我们还需要找出最后一条边就可以构造出一颗最小生成树，但是这个时候我们有三个选择：（v1,V4），（v2，v3），（v3，v4）,这三条边的权重都是5，首先我们如果选（v1，v4）的话，得到的图如下：这里写图片描述我们发现，这肯定是不符合我们算法要求的，因为它出现了一个环，所以我们再使用第二个（v2，v3）试试，得到图形如下：

我们发现，这个图中没有环出现，而且把所有的顶点都加入到了这颗树上了，所以（v2，v3）就是我们所需要的边，所以最后一个输出的边就是：v2—-v3=5

OK，到这里，我们已经把克鲁斯卡算法过了一遍，下面我们就用具体的代码实现它：

5、克鲁斯卡算法的代码实现

/************************************************************//* 程序作者：Willam *//* 程序完成时间：2017/3/3 *//* 有任何问题请联系：2930526477@QQ.com *//************************************************************///@尽量写出完美的程序#include<iostream>#include<algorithm>#include<string>using namespace std;//检验输入边数和顶点数的值是否有效，可以自己推算为啥：//顶点数和边数的关系是：((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edgebool check(int Vexnum,int edge) { if (Vexnum <= 0 || edge <= 0 || ((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge) return false; return true;}//判断我们每次输入的的边的信息是否合法//顶点从1开始编号bool check_edge(int Vexnum, int start ,int end, int weight) { if (start<1 || end<1 || start>Vexnum || end>Vexnum || weight < 0) { return false; } return true;}//边集结构，用于保存每条边的信息typedef struct edge_tag { bool visit; //判断这条边是否加入到了最小生成树中 int start; //该边的起点 int end; //该边的终点 int weight; //该边的权重}Edge;//创建一个图，但是图是使用边集结构来保存void createGraph(Edge * &e,int Vexnum, int edge) { e = new Edge[edge];//为每条边集开辟空间 int start = 0; int end = 0; int weight = 0; int i = 0; cout << "输入每条边的起点、终点和权重：" << endl; while (i != edge) { cin >> start >> end >> weight; while (!check_edge(Vexnum, start, end, weight)) { cout << "输入的值不合法，请重新输入每条边的起点、终点和权重：" << endl; cin >> start >> end >> weight; } e[i].start = start; e[i].end = end; e[i].weight = weight; e[i].visit = false; //每条边都还没被初始化 ++i; }}//我们需要对边集进行排序，排序是按照每条边的权重，从小到大排序。int cmp(const void* first, const void * second) { return ((Edge *)first)->weight - ((Edge *)second)->weight;}//好了，我们现在需要做的是通过一定的方式来判断//如果我们把当前的边加入到生成树中是否会有环出现。//通过我们之前学习树的知识，我们可以知道如果很多棵树就组成一个森林，而且//如果同一颗树的两个结点在连上一条边，那么就会出现环，//所以我们就通过这个方式来判断加入了一个新的边后，是否会产生环，//开始我们让我们的图的每个顶点都是一颗独立的树，通过不断的组合，把这个森林变//成来源于同一颗顶点的树//如果不理解，画个图就明白了，//首先是找根节点的函数,//其中parent代表顶点所在子树的根结点//child代表每个顶点孩子结点的个数int find_root(int child, int * parent) { //此时已经找到了该顶点所在树的根节点了 if (parent[child] == child) { return child; } //往前递归，寻找它父亲的所在子树的根结点 parent[child] = find_root(parent[child], parent); return parent[child];}//合并两个子树bool union_tree(Edge e, int * parent, int * child) { //先找出改边所在子树的根节点 int root1; int root2; //记住我们顶点从1开始的，所以要减1 root1 = find_root(e.start-1, parent); root2 = find_root(e.end-1, parent); //只有两个顶点不在同一颗子树上，才可以把两棵树并未一颗树 if (root1 != root2) { //小树合并到大树中，看他们的孩子个数 if (child[root1] > child[root2]) { parent[root2] = root1; //大树的孩子数量是小树的孩子数量加上 //大树的孩子数量在加上小树根节点自己 child[root1] += child[root2] + 1; } else { parent[root1] = root2; child[root2] += child[root1] + 1; } return true; } return false;}//克鲁斯卡算法的实现void Kruskal() { int Vexnum = 0; int edge = 0; cout << "请输入图的顶点数和边数：" << endl; cin >> Vexnum >> edge; while (!check(Vexnum, edge)) { cout << "你输入的图的顶点数和边数不合法，请重新输入：" << endl; cin >> Vexnum >> edge; } //声明一个边集数组 Edge * edge_tag; //输入每条边的信息 createGraph(edge_tag, Vexnum, edge); int * parent = new int[Vexnum]; //记录每个顶点所在子树的根节点下标 int * child = new int[Vexnum]; //记录每个顶点为根节点时，其有的孩子节点的个数 int i; for (i = 0; i < Vexnum; i++) { parent[i] = i; child[i] = 0; } //对边集数组进行排序，按照权重从小到达排序 qsort(edge_tag, edge, sizeof(Edge), cmp); int count_vex; //记录输出的边的条数 count_vex = i = 0; while (i != edge) { //如果两颗树可以组合在一起，说明该边是生成树的一条边 if (union_tree(edge_tag[i], parent, child)) { cout << ("v" + std::to_string(edge_tag[i].start)) << "-----" << ("v" + std::to_string(edge_tag[i].end)) <<"=" << edge_tag[i].weight << endl; edge_tag[i].visit = true; ++count_vex; //生成树的边加1 } //这里表示所有的边都已经加入成功 if (count_vex == Vexnum - 1) { break; } ++i; } if (count_vex != Vexnum - 1) { cout << "此图为非连通图！无法构成最小生成树。" << endl; } delete [] edge_tag; delete [] parent; delete [] child;}int main() { Kruskal(); system("pause"); return 0;}

输入：

6 101 2 61 3 11 4 52 3 52 5 33 5 63 6 44 3 54 6 25 6 6

输出：这里写图片描述