Q73：蒙特•卡罗积分（Monte Carlo Integration）

73.1 基本技巧（The Basic Technique）

这5个采样点各自对应的估算值如下：

如上五部分估算值（绿色阴影面积、天蓝色阴影面积、蓝色阴影面积、紫色阴影面积、红色阴影面积）的平均值即为最终对灰色阴影部分面积的估算。

73.2 方差（Variance）

从前面的运算过程，我们可以看到用蒙特·卡罗积分公式来求积分是有误差的。“方差”就是用来定量分析这个误差的。方差用符号Ｖ表示。

73.3 重要性采样（Importance Sampling）

我们可以使用一些技巧来减小蒙特·卡罗积分的方差。

之前，我们使用的采样方式是“随机均匀分布采样”（即每一个采样点出现的概率是一样的）。

为了减小方差，我们可以使用一个函数图像形状类似于f(x)函数图像的采样密度分布。“重要性采样”的逻辑是：函数值越大的采样点对整个积分结果的贡献就越大，所以就越重要，所以在这些区域进行更高密度的采样就能得到更精确的估算值。

采样的密度用“概率密度函数（PRobability Density Function）”p(x)表示，简称为pdf。

73.4 其他说明

Referrance

[1]. Kevin Suffern, Ray Tracing from theGround Up, A K Peters Ltd, 2007.