Morphological and Other Set Operations（图像形态学及集合计算）

膨胀和腐蚀时形态学处理的基础。膨胀是在二值图像中“加长”或“变粗”的操作。腐蚀“收缩”或“细化”二值图像中的对象。而边界提取是用原图像减去对原图像腐蚀后的图像得到的。基于膨胀和腐蚀可以计算出形态学图像梯度，它可以使图像中灰度级的跃变更加急剧，并且这种方法对边缘方向性的依赖很小，很适合用来提取图像边界。图像的膨胀和腐蚀另一种应用便是top-hat变换，这种变换可以突出图像中阴影处的细节，增强图像中不是很明显的细节信息。

一、实验技术论述

1.图像集合的交、差、并、补 两个图像集合A和B的交集表示为：

两个图像集合A和B的差集表示为：

两个图像集合A和B的补集表示为：

2.膨胀 膨胀是在图像中“加长”或“变粗”的操作。计算时，结构元素通常用0和1的矩阵表示，结构元素的原点必须明确标明。将结构元素的原点平移过整个图像区域，并且核对哪些地方与值为1的像素重叠。 由于 和 是 中的集合，A被B膨胀定义为： 这个公式是以得到B的相对于它自身原点的映象并且由z对映象进行移位为基础的。A被B膨胀是所有位移z的集合，这样，B的映像和A至少有一个元素是重叠的。集合B通常叫做膨胀的结构元素。根据这种解释，上式可以改写成： 该公式可以解释为将卷积模版B按其原点翻转后逐步移动B以便B能够滑过图像A，因此膨胀过程可以看成是一种卷积过程。 膨胀计算过程如下： ⑴ 用结构元素B，扫描图像A的每一个像素 ⑵ 用结构元素与其覆盖的二值图像做“与”操作 ⑶ 如果都为0，结果图像的该像素为0，否则为1。

3.腐蚀 腐蚀可以看作是对图像中的对象的“收缩”或“细化”操作。对Z中的集合A和B，使用B对A进行腐蚀，并定义为： 这个公式表明，使用B对A进行腐蚀就是所有B中包含于A的点z的集合用z平移。 腐蚀计算过程如下： ⑴ 用结构元素B，扫描图像A的每一个像素 ⑵ 用结构元素与其覆盖的二值图像做“与”操作 ⑶ 如果都为1，结果图像的该像素为1，否则为0。

4.边界提取 集合A的边界表示为β(A)，它可以通过先由B对A腐蚀，而后用A减去腐蚀得到。即：

5.灰度膨胀 用b函数对f进行的灰度膨胀定义为：

该公式表示将结构元素的原点平移过整个图像区域，每个点的膨胀值是在跨度为b的区间内f与b之和的最大值。

6.灰度腐蚀 用b函数对f进行的灰度腐蚀定义为：

7.形态学图像梯度 腐蚀、膨胀经常用于计算图像形态学梯度，表示为g： 该公式表示用膨胀后的图像减去腐蚀后的图像，形态学图像梯度的作用是使输入图像的灰度级跃变更加剧烈。

8.top-hat变换 top-hat变换用g表示，定义为 该公式表示用原图像减去开操作后的图像，top-hat变换对于增强图像细节很有帮助。

二、实验结果讨论 1.膨胀后图线条变粗了，同时也出现了许多额外的亮点，应该是原图中存在微小不可见的亮点引起的。而腐蚀后的图片线条明显变细了，边界提取使用原图减去腐蚀后的图片，所以被腐蚀去掉的像素就被保留下来，显示来的就相当于图像边界。见图1。

2.对于灰度图像的腐蚀，其结果便是扩大灰度变化区域中亮的区域，见图2，两眼中间的较亮的区域范围变大了，细线条的地方也变粗了，整幅图像也明显比原图亮了。而灰度的腐蚀操作结果与膨胀相反，其结果是扩大灰度变化区域中暗的区域，图2中两眼中间暗的区域扩大了，原来的细线条也变暗、模糊了，整体亮度较原图稍暗。

3.图像的梯度变换是增加图像中灰度的跃变程度，而图像灰度的跃变一般发生在图像边界处，所以图像梯度变换可以很好地提取出图像边界，见图3。而top-hat变换在于突出图像中模糊的细节，从图3右中可以看出，原图中比较模糊的线条细节被显示出来。

三、实验结果 图1 二值图像的腐蚀、膨胀、边界提取结果图

图2 灰度图膨胀、腐蚀结果图

图 3 灰度图梯度变换、tophat变换后结果图

附录： function myxingtaixue B=ones(3,3); %———-; im=imread(’ Fig9.20(left).jpg’); subplot(221);imshow(im);title(‘原图’) im_N1=ImageDilation(im,B); subplot(222);imshow(im_N1);title(‘膨胀后图片’) im_N2=ImageErode(im,B); subplot(223);imshow(im_N2);title(‘腐蚀后图片’) im_N3=set_Operators(im,im_N2,’差’); subplot(224);imshow(im_N3);title(‘边界提取图’) %———- im=imread(‘Fig9.39(a).jpg’); figure subplot(221);imshow(im);title(‘原图’) im_N4=GrayImageDilation(im,B); subplot(222);imshow(im_N4);title(‘膨胀后灰度图片’) im_N5=GrayImageErode(im,B); subplot(223);imshow(im_N5);title(‘腐蚀后灰度图片’) %———- figure im_N6=im_N4-im_N5; subplot(221);imshow(im_N6);title(‘梯度变换后灰度图片’) im_N7=im-GrayImageDilation(im_N5,B); subplot(222);imshow(im_N7);title(‘tophat变换后灰度图片’)

function im_N=GrayImageDilation(im,B) %灰度图膨胀程序 [m,n]=size(im); zero_ac=zeros(m,1); zero_ar=zeros(1,n+2); im1=[zero_ar;[zero_ac,im,zero_ac];zero_ar]; im1=double(im1); im_N=zeros(m,n); for i=2:m+1 for j=2:n+1 im_N(i-1,j-1)=max(max([im1(i-1,j-1) im1(i-1,j) im1(i-1,j+1); im1(i,j-1)… im1(i,j) im1(i,j+1) ;im1(i+1,j-1) im1(i+1,j) im1(i+1,j+1)]+B)); end end im_N=uint8(im_N);

function im_N=GrayImageErode(im,B) %灰度图腐蚀程序 [m,n]=size(im); zero_ac=zeros(m,1); zero_ar=zeros(1,n+2); im1=[zero_ar;[zero_ac,im,zero_ac];zero_ar]; im1=double(im1); im_N=zeros(m,n); for i=2:m+1 for j=2:n+1 im_N(i-1,j-1)=min(min([im1(i-1,j-1) im1(i-1,j) im1(i-1,j+1); im1(i,j-1)… im1(i,j) im1(i,j+1) ;im1(i+1,j-1) im1(i+1,j) im1(i+1,j+1)]-B)); end end im_N=uint8(im_N);

function im_N=ImageDilation(im,B) %二值图膨胀程序 [m,n]=size(im); zero_ac=zeros(m,1); zero_ar=zeros(1,n+2); im1=[zero_ar;[zero_ac,im,zero_ac];zero_ar]; im_N=zeros(m,n); for i=2:m+1 for j=2:n+1 N_zero=find([im1(i-1,j-1) im1(i-1,j) im1(i-1,j+1) im1(i,j-1)… im1(i,j) im1(i,j+1) im1(i+1,j-1) im1(i+1,j) im1(i+1,j+1)]); if size(N_zero,2)>0 im_N(i-1,j-1)=1; end end end

function im_N=ImageErode(im,B) %二值图腐蚀程序 [m,n]=size(im); zero_ac=zeros(m,1); zero_ar=zeros(1,n+2); im1=[zero_ar;[zero_ac,im,zero_ac];zero_ar]; im_N=zeros(m,n); for i=2:m+1 for j=2:n+1 N_zero=find([im1(i-1,j-1) im1(i-1,j) im1(i-1,j+1) im1(i,j-1)… im1(i,j) im1(i,j+1) im1(i+1,j-1) im1(i+1,j) im1(i+1,j+1)]); if size(N_zero,2)==9 im_N(i-1,j-1)=1; end end end

function im= set_operators( im1,im2,key ) %图像的交、差、补运算程序 if key==’交’ im=im1 & im2; elseif key==’差’ im=im1 &~ im2; else im=~im1; end