单应性及透视变换

1 单应性（Homography）

为了实现逆透视变换，首先要先理解单应性。 平面上某点P$P$，在世界坐标系下和图像坐标系下的坐标分别表示为M$M$和m$m$，则： sm˜=A[R,t]M˜ $$s/widetilde{m}=A[R,t]/widetilde{M}$$ 其中，s$s$为尺度因子，A$A$为内参矩阵，R,t$R,t$统称为外参矩阵，将其展开如下： s⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=A[r1r2r3t]⎡⎣⎢⎢⎢XYZ1⎤⎦⎥⎥⎥ $$s/begin{bmatrix}u// v// 1/end{bmatrix}=A/begin{bmatrix}r_1 & r_2 & r_3 &t /end{bmatrix}/begin{bmatrix}X// Y// Z// 1/end{bmatrix}$$ 由于在同一平面下，另z=0$z=0$，—》 s⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=A[r1r2r3t]⎡⎣⎢⎢⎢XY01⎤⎦⎥⎥⎥=A[r1r2t]⎡⎣⎢XY1⎤⎦⎥ $$s/begin{bmatrix}u// v// 1/end{bmatrix}=A/begin{bmatrix}r_1 & r_2 & r_3 &t /end{bmatrix}/begin{bmatrix}X// Y// 0// 1/end{bmatrix}=A/begin{bmatrix}r_1 & r_2 &t /end{bmatrix}/begin{bmatrix}X// Y// 1/end{bmatrix}$$ 另H=A[r1r2t]$H=A/begin{bmatrix} r_1& r_2 &t /end{bmatrix}$，则H$H$为单应性矩阵，sm˜=HM˜$s/widetilde{m}=H/widetilde{M}$。 求解推导如下：

最少根据四个点，建立8个方程，求解出h′${h}'$。具体的求解方法为利用SVD分解。 具体求解方法可参看张正友文章： Homography Estimation

2 逆透视

透视变换是利用小孔成像原理，将世界坐标下的物体变换到图像坐标系下，而逆透视变换是其反变换，是已知图像将其变换到世界坐标下。 为了满足单应性使用条件，我们限定变换的所有目标点在世界坐标系下共平面。 基本流程如下：

1 建立图像坐标系和世界坐标系 2. 获取至少4个点对坐标，本示例使用标定板的四个顶点坐标。 3. 根据4个点对计算H单应性矩阵. 4. 生成世界坐标系下的坐标网络 5. 映射至图像坐标系下，获取对应像素值，填充世界坐标系下坐标网络。 世界所坐标系建立如下：

先上逆透视结果：

参考： 《A Flexible New Technique for Camera Calibration》