特征检测：白话Harris角点检测

角点是一个可重复、可靠、显著的特征。在特征匹配中用来检测特征点的位置。

本篇博客，用大白话谈一谈自己对Harris角点检测算法的理解。

Harris实际上是设计了一个准则来度量角点的特点。角点有啥特点呢？显著的特点就是：在角点的邻域，图像邻域有两个以上的主方向，即邻域范围内方向导数的和有多个极值。直观感受下图，

下式还不是度量角点的准则，它是描述邻域方向导数和：

E(u,v)=∑x,yw(x,y)[I(x+u,y+v)−I(x,y)]2 $$E(u,v)=/sum_{x,y}w(x,y)[I(x+u,y+v)-I(x,y)]^2$$

分析这个式子：x$x$与y$y$是图像坐标。u$u$与v$v$是滑动的坐标主轴方向，是式子的变量。E$E$是邻域各个方向导数的和值。

窗口函数说明是通过邻域信息得到的角点。这是合理的，因为单点只可确定一个梯度，如果单纯依据单个点的信息，是不可能的。窗口是对各个点的梯度贡献的加权。可以是二维阶跃，这种情况下所有点权值相同。可以是二维高斯，这种情况离中心点越近，权值越大。

中括号里的差式，表征了尝试从不同的滑动方向求取邻域方向导数的和。可以预料到，如果结果是角点，该式会有两个以上显著的极值。

数学家总能利用数学工具演化和提取信息。怎么抽离变量(u,v)$(u,v)$，依据图像邻域像素信息，来判断角点呢？

推导式子：

E(u,v)≈[uv]M[uv] $$E(u,v)/ap<a href="http://pr.VeVb.com/">PR</a>ox{/begin{bmatrix}u & v/end{bmatrix}}M {/begin{bmatrix}u // v/end{bmatrix}}$$

其中 M=∑x,yw(x,y)[I2xIxIyIxIyI2y] $$M=/sum_{x,y}w(x,y){/begin{bmatrix}I^2_x&I_x I_y // I_xI_y&I_y^2/end{bmatrix}}$$

M$M$式子前面表示在需要检测角点的邻域窗口求和。

再来， M=⎡⎣∑I2x∑IxIy∑IxIy∑I2y⎤⎦=[λ100λ2] $$M={/begin{bmatrix}/sum I^2_x&/sum I_x I_y // /sum I_xI_y&/sum I_y^2/end{bmatrix}}={/begin{bmatrix}/lambda _1 &0 //0&/lambda _2/end{bmatrix}}$$

已经很简化了，将M$M$带入E(u,v)≈[uv]M[uv]$E(u,v)/approx{/begin{bmatrix}u & v/end{bmatrix}}M {/begin{bmatrix}u // v/end{bmatrix}}$，可知当λ1$/lambda _1$越大，该点的邻域在x$x$方向导数越大，当λ2$/lambda _2$越大，该点的邻域在y$y$方向导数越大。对应如下角点：

但如果两个“梯度”不是x$x$方向和y$y$方向呢？比如这样的角点：

既然M$M$是对称的，可以写作（奇异值分解）：

M=R−1[λ100λ2]R $$M= R^{-1} {/begin{bmatrix}/lambda _1 &0 //0&/lambda _2/end{bmatrix}}R$$

我们可以把M$M$看成一个椭圆，长轴和短轴由两个特征值决定，R$R$影响椭圆的方向。

所以角点的特征就是λ1$/lambda _1$和λ2$/lambda _2$都尽可能大，而且两者的值差异应该小一些。

怎么定量描述？作者设计了一个响应函数： θ=det(M)−αtrace(M)2=λ1λ2−α(λ1+λ2)2 $$θ = det(M)−α trace(M)^2 =λ1λ2 −α(λ1 +λ2 )^2$$

这么设计有它的优点。特征值之和对应矩阵的迹，积对应矩阵行列式的值，这样就可避免计算费时的特征值的计算。在回头看看M$M$矩阵的初始形式，可以看出整个算法计算量大的运算，包括求导数图像和高斯模糊。

α$α$是个经验值，一般取0.04-0.06之间最好。

整个算法的计算过程，总结如下图：

参考资料：Lecture6_Detectors_Harris_cs131 Stanford University CS 131 Computer Vision: Foundations and applications