对于一致收敛的序列或级数，我们也有关于极限函数积分与微分的陈述，需要回答的问题是是否这些运算可以逐项执行。对于积分过程，答案是肯定的，下面的定理会介绍，而积分的一般定义会在后面给出，但是对于单变量连续实值函数，我们从基本微积分中已经知道了积分与微分的基本性质。
定理4 假设fk:[a,b]→R是连续函数(a,b∈R)并且fk→f(一致)，那么 ∫bafk(x)dx→∫baf(x)dx
推论2 假设gk:[a,b]→R是连续的且Σ∞k=1gk是一致收敛的，那么我们可以改变积分与和的次序 ∫ba∑k=1∞gk(x)dx=∑k=1∞∫bagk(x)dx
将定理4应用到部分和的极限上可以很容易的得出这个推论。
直观上，定理应该十分清楚，因为如果fk非常接近f，那么它的积分应该接近f的积分，但是这里需要小心，如果fk只是逐点收敛，那么这个结论就不成立！(看例1)
注意：实际上，有一个比上面定理更加广泛的定理，也就是Lebesgue控制收敛定理。这个结论的一个版本说明如果fk 逐点收敛到f并且fk一致有界(即，对于所有的k=1,2,…,x∈[a,b],|fk(x)|≤M)，那么定理4的结论依然有效。
对于导数我们也可以这样吗？对于一致收敛序列或级数的逐项可微问题，这个回答是否定的，可参看上篇文章的例3。这个结果提醒我们，当将直观上合理的命题变成事实时需要谨慎，因此除了一致收敛，我们还需要更多的假设，充分条件由下面的定理给出。
定理5 令fk:(a,b)→R是开集(a,b)上的可微函数序列，且逐点收敛到f:(a,b)→R。假设导数f′k是连续的且一致收敛到函数g，那么f是可微的且f′=g。
推论3 如果gk是可微的，那么g′k是连续的，Σ∞k=1gk逐点收敛且如果Σ∞k=1g′k一致收敛，那么 (∑k=1∞gk)′=∑k=1∞g′k
将定理应用到部分和序列就能得出上面的推论。
例1：给出一个序列fk:[0,1]→R的例子，要求其逐点收敛到零，但是∫10fk不收敛到零。
图1 解：令fk的图像如图1所示，那么，fk满足对于所有k=1,2,3,…,∫10fk=1。进一步，对于每个x当k→∞时fk(x)→0(当x=0时很明显，当x>0时，只要k>1/x，那么fk(x)=0)。
例2：令gn(x)=nx/(1+nx),0≤x≤1，验证定理5。
解：x≠0我们可以看出当n→∞,gn(x)→1，因为gn(x)=x/(x+1/n)。但是对于x=0,gn(x)=0，所以gn是逐点而不是一致收敛。该函数只在区间[δ,1],δ>0上是一致收敛的。
该函数的导数是g′n(x)=(1/n)/(x+1/n)2，在区间[δ,1]上一致收敛到→0但是g′n(0)→∞，所以定理5的条件只在区间[δ,1],δ>0上满足，极限函数在x=0处不可微。
例3：用ex=Σ∞0xn/n!与定理4验证∫x0etdt=ex−1。
解：根据魏尔斯特拉斯M测试，ex=Σ∞0xn/n!在任意有限区间都一致收敛，所以根据推论2并应用到区间[0,x]上可得 ∫x0etdt=∑0∞∫x0tnn!dt=∑0∞tn+1(n+1)!|x0=x1!+x22!+⋯=ex−1
