【线性代数】特征值的物理意义

对于矩阵A$A$，其特征值为λ$/lambda$，特征向量为b$b$，满足： Ab=λb $$Ab=/lambda b$$

从几何意义来说，一个矩阵A$A$定义了一个由旋转和缩放组成的线性变换。对于这个变换，存在某个特殊的向量b$b$，其变换结果和原来共线。

这个结论初看难以想象，我们用简单的例子来展示。

【例1】考虑一个变换，对x,y坐标进行缩放。 A=⎡⎣⎢k000k0001⎤⎦⎥ $$A=/left[ /begin{matrix} k & 0 & 0// 0 & k & 0 // 0 & 0 & 1/end{matrix} /right]$$

xy平面上的向量[a,b,0]$[a,b,0]$是该矩阵的特征向量，经过缩放后，和原向量共线。

【例2】考虑一个变换，将向量围绕矢量r$r$旋转角度θ$/theta$。 和r$r$共线的向量，在旋转后，仍然保持不变，是该矩阵的特征向量。

可以看到，特征向量实际表达了矩阵所代表的线性变换的特征。