第六章 数理统计的基本概念与基本原理
一、基本概念
总体、个体、样本常用的统计量 样本均值 X¯=1n∑i=1nXi样本方差 S2=1n−1∑i=1n(Xi−X¯)2样本的 k 阶原点矩 Ak=1n∑i=1nXki
二、三个重要的抽样分布
1.χ 分布 设 X1,X2,⋯,Xn 相互独立且都服从标准正态分布 N(0,1)，令 Z=X21+X22+⋯+X2n，称 Z 服从的分布为 χ2(n) 分布，记为X∼χ2(n)。
Eχ(n)=n,Dχ2=2n 若X∼χ2(m),Y∼χ2(n)且 X,Y 相互独立，则 X+Y∼χ2(m+n)
2.t 分布 若 X∼N(0,1),Y∼χ2(n)，且 X,Y 相互独立，令 Z=XY/n√，称 Z 服从的分布为 t 分布，记为 Z∼t(n)。
t 分布近似服从标准正态分布 若 Z∼t(n)，则 EZ=0,DZ=nn−2
3.F 分布 设 X∼χ2(m),Y∼χ2(n) 且 X,Y 独立，令 F=X/mY/n，称 F 服从 F 分布，记为 F∼F(m,n)。
若F∼F(m,n)，则 1F∼F(n,m) F1−α2(m,n)=1Fα2(m,n)
三、正态分布下常用的抽样分布
设总体 X∼N(μ,σ2),X1,X2,⋯,Xn 是来自总体 X 的样本，则
X¯∼N(μ,σ2n),X¯−μσn√∼N(0,1)X¯−μSn√∼t(n−1)(n−1)S2σ2=1n∑ni=1(Xi−X¯)2∼χ2(n−1)1n∑ni=1(Xi−μ)2∼χ2(n)X¯ 和 S2 相互独立ES2=σ2
