第五章 大数定律与中心极限定理
一、车比雪夫不等式
定理 设 X 为随机变量，且存在有限的 DX，则对 ∀ε>0 ，有 P{|X−EX|⩾ε}⩽DX(ε)2或P{|X−EX|>ε}⩾1−DX(ε)2
二、大数定律
定理1 车比雪夫大数定律 设 X1,X2,⋯,Xn 相互独立且存在 c>0 使得 DXi⩽c(i=1,2,⋯)，则对任意的 ε>0，有 limn→∞P{|1n∑i=1nXi−1n∑i=1nEXi|<ε}=1
定理2 独立同分布的大数定律 设 X1,X2,⋯,Xn 相互独立同分布且 EXi=μ， DXi=σ2(i=1,2,⋯)，则对 ∀ε>0，有 limn→∞P{|1n∑i=1nXi−μ|<ε}=1
定理3 辛钦大数定律 设 X1,X2,⋯,Xn 相互独立同分布且 EXi=μ，则对 ∀ε>0，有 limn→∞P{|1n∑i=1nXi−μ|<ε}=1
所有大数定律都是指在随机变量组在独立的条件下，若干个随机变量的平均值依概率收敛到其数学期望的平均值，即 1n∑i=1nXi⟶E(1n∑i=1nXki)=μ 更进一步， 1n∑i=1nXli⟶E(1n∑ikXki)
三、中心极限定理
定理1 Levy-Lindberg 设 X1,X2,⋯,Xn 相互独立同分布且期望 EXi=μ和方差 DXi=σ2 都存在，则对 ∀x，有 limn→∞P{∑ni=1Xi−nμn√σ⩽x}=Φ(x)
定理2 Laplace 设 X∼B(n,p)，且 X1,X2,⋯,Xn 相互独立，则对 ∀x，有 limP{Xn−npnp(1−p)−−−−−−−−√⩽x}=Φ(x)
