视觉惯性单目SLAM （五）-线性和二次型

2019-11-06 09:35:16

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1. 矩阵基本运算法则

大写字母是矩阵，小写字母是向量矩阵乘法 (AB)C=A(BC)A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AB+BC $(AB)C = A(BC) //A(B+C) = AB +AC //(A+B)C = AB + BC$ 可交换矩阵 AB=BA $AB=BA$ 矩阵转置 (AT)T=A(A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT $(A^T)^T = A //(A+B)^T = A^T + B^T //(AB)^T = B^TA^T$ 向量内积(常用于最小二乘法 $/color {red}{常用于最小二乘法}$ ) x∈Rn×1，则有： $x /in R^{n /times 1}，则有：$ xTx=||x||2=∑i=1nx2i $x^Tx=||x||^2 = /sum_{i=1}^n x_i^2$ 几何意义：向量x长度的平方 $几何意义：向量x长度的平方$ 方阵A∈Rn×n $/color {red}{方阵 A /in R^{n /times n}}$ 对称矩阵 $/color {red}{对称矩阵}$ ：AT=A，A=A+AT2 $A^T=A， /quad /quad A = /frac {A+A^T}{2}$ 反对称矩阵 $/color {red}{反对称矩阵}$ ：AT=−A $A^T=-A$ 矩阵的逆 $/color {red}{矩阵的逆}$ 1) r(A)=n⟺A是非奇异的（non−singular） $r(A) = n /iff A是非奇异的（non-singular）$ 2) r(A)<n⟺A是奇异的（singular） $r(A) < n /iff A是奇异的（singular）$ 3) AA−1=A−1A=I $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ 4) (A−1)T=(AT)−1 $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ 5) (AB)−1=B−1A−1 $(AB)^{-1} =B^{-1}A^{-1}$ 6) 若A为正交矩阵，则A−1=AT $若A为正交矩阵，则A^{-1} = A^T$

2. 线性和二次型

线性和二次型：Linear forms and Quadratic forms符号：a∈Rn×1，A∈Rn×n,B∈Rn×m,x∈Rn×1，y∈Rm×1 $a /in R^{n /times 1}， A /in R ^{n /times n}, B /in R^{n /times m} , x /in R^{n /times 1}， y /in R^{m /times 1}$ x的线性表示： $/color {/red}{x的线性表示：}$ aTx $a^Tx$ x的二次型： $/color {/red}{x的二次型：}$ xTAx $x^TAx$ 若A是对称矩阵，则有：xTAx=xT(A+AT2)x $x^TAx = x^T/left(/frac {A+A^T}{2} /right)x$ 对称矩阵A的正定的判别方式： 1）∀x≠0，若xTAx>0 $/forall x /neq 0，若x^TAx >0$ ，则A是正定矩阵（positive definite） 2）∀x，若xTAx≥0 $/forall x/quad/;/;/;，若x^TAx /ge0$ ，则A是半正定矩阵（positive semidefinite） 3）∀x≠0，若xTAx<0 $/forall x /neq 0，若x^TAx <0$ ，则A是负定矩阵（negative definite） 4）∀x，若xTAx≤0 $/forall x /quad/;/;/;，若x^TAx /le0$ ，则A是半负定矩阵（positive semidefinite） 5）若一些x使xTAx>0，另一些x使xTAx<0 $若一些x使x^TAx > 0，另一些x使x^TAx < 0$ ，则A是不定的（indefinite）x和y的双线性表示： $/color {/red}{x和y的双线性表示：}$ xTBy $x^TBy$ 对x和y都分别是线性表示，所以叫双线性表示 $/quad/quad 对x和y都分别是线性表示，所以叫双线性表示$ 有用的定理,A∈Rm×n，B∈Rn×p,C∈Rn×p,x∈Rn×1 $/color {/red}{有用的定理}, A /in R ^{m /times n}， B /in R^{n /times p}, C /in R^{n /times p}, x /in R^{n /times 1}$ (a) Ax=0⟺ATAx=0 $Ax = 0 /iff A^TAx = 0$ (b) AB=0⟺ATAB=0 $AB = 0 /iff A^TAB = 0$ (c) ATAB=ATAC⟺AB=AC $A^TAB = A^TAC /iff AB = AC$ $/color {/red}{}$

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