bzoj 3033: 太鼓达人 （欧拉图+dfs）

Description

　　七夕祭上，Vani牵着cl的手，在明亮的灯光和欢乐的气氛中愉快地穿行。这时，在前面忽然出现了一台太鼓达人机台，而在机台前坐着的是刚刚被精英队伍成员XLk、Poet_shy和lydrainbowcat拯救出来的的applepi。看到两人对太鼓达人产生了兴趣，applepi果断闪人，于是cl拿起鼓棒准备挑战。然而即使是在普通难度下，cl的路人本性也充分地暴露了出来。一曲终了，不但没有过关，就连鼓都不灵了。Vani十分过意不去，决定帮助工作人员修鼓。

　　鼓的主要元件是M个围成一圈的传感器。每个传感器都有开和关两种工作状态，分别用1和0表示。显然，从不同的位置出发沿顺时针方向连续检查K个传感器可以得到M个长度为K的01串。Vani知道这M个01串应该是互不相同的。而且鼓的设计很精密，M会取到可能的最大值。现在Vani已经了解到了K的值，他希望你求出M的值，并给出字典序最小的传感器排布方案。

Input

　　一个整数K。

Output

　一个整数M和一个二进制串，由一个空格分隔。表示可能的最大的M，以及字典序最小的排布方案，字符0表示关，1表示开。你输出的串的第一个字和最后一个字是相邻的。

Sample Input

Sample Output

HINT

　得到的8个01串分别是000、001、010、101、011、111、110和100。注意前后是相邻的。长度为3的二进制串总共只有8种，所以M = 8一定是可能的最大值。

　　对于全部测试点，2≤K≤11。

Source

Poetize2

题解：欧拉图+dfs 

之前就知道欧拉图，但是一直没有仔细的学过，也基本上没有应用过。

先引出欧拉图的一些基本概念

1.欧拉通路：通过图中的每条边一次且仅一次，并且过每个顶点的通路

2.欧拉回路：通过图中的每条边一次且仅一次，并且过每个顶点的回路

3.欧拉图：存在欧拉回路的图。欧拉图就是从一个顶点出发每条边恰经过一次又回到出发顶点的那种图，即不重复的行遍所有的边再回到出发点。

4.简单图：不含平行边和自由路的图

5.混合图：既有有向边，也有无向边的图

6.平凡图：仅一个节点的图

7.完全图：有n个结点且每对结点都有边相连的无向简单图，称为无向完全图。有n个结点的且每对结点之间都有两条方向相反的边相连的有向简单图，称为有向完全图。

无向图

（1）G有欧拉通路的充分必要条件为：G联通，G中只有两个奇数顶点（分别是欧拉通路的两个端点）

（2）G有欧拉回路（G为欧拉图）：G联通，G中均为偶度顶点

有向图

（1）D有欧拉通路：D联通，除两个顶点外，其余顶点的入度出度相等，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1

（2）D有欧拉回路（D为欧拉图）：D联通，D中所有顶点的入度等于出度。一个有向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点的度数都是0

对于这道题来说，01串的所有组合有2^k种，但是直接分析的话并不能确定所有的组合一定都能出现。

但是我们将所有的组合都看成一个点，那么每个点在最后加上0或1，使01串的长度为k，有两种选择，同样再前面添加0或1也是一样。那么对于每个点来说出度和入度是相同的，也就是说我们可以得到一种有向的欧拉图。

对于欧拉图来说，一定存在欧拉回路，也就是说一定存在方案使2^k中组合都出现。

同时因为是欧拉图，那么这道题基本上就变成了一笔画问题，对于一笔画问题的话我们可以放心的dfs,会在非常高的效率内出解。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cmath>#include<cstring>#define N 3000using namespace std;int vis[N],ans[N];int n,t;int dfs(int x,int k){	if (vis[x]) return 0;	if (k==t) return 1;	vis[x]=1; ans[k]=x&1;	if (dfs((x<<1)&(t-1),k+1)) return 1;	if (dfs((x<<1|1)&(t-1),k+1)) return 1;	vis[x]=0;	return 0;}int main(){	freopen("a.in","r",stdin);	scanf("%d",&n);	PRintf("%d ",(t=1<<n));	dfs(0,1);	for (int i=1;i<n;i++) printf("0");	for (int i=1;i<=t-n+1;i++)	 printf("%d",ans[i]);	printf("/n");}