矩阵链乘法问题

题目：

拿到这道题，我们首先要知道矩阵相乘的规则和过程，具体的乘法过程如下:

要求A的列数=B的行数，并且结果的C矩阵的元素值满足如下关系：

　　从上式中我们可以求得矩阵C中每个元素值，但是我们这题关心的并不是值，而是相乘的此时，这里我们可以看到求每个元素，需要m个乘积的和，这样的话，求取完整的矩阵C需要进行l*m*m次相乘。同时由于相邻矩阵满足前一个列数等于后一个行数的关系，这样，我们把每个矩阵行列数保存在数组p中，并且相邻矩阵的相等行列书只存储一次，这样的话，对于矩阵M[i](i=1,2,3,.;.....n)，其是p[i-1]行p[i]列的矩阵。

　　确定好上述的数据存储，接下来考虑本题，如果检查每种不同的计算顺序那么福复杂度高达O(n!),显然是不靠谱的，这样我们可不可以考虑使用动态规划呢？

　　答案是可以的，我们对于一个大矩阵M[i]*M[i+1]*...*M[j],我们不考虑过多，只想在得到这个矩阵的前一步乘积的情况，有哪些情况呢？比如对于M1*M2*M3*M4*M5,显然的我们有以下几种情况，并由此获得完整的M1*M2*M3*M4*M5的公式:

     1.(M1)*(M2*M3*M4*M5)的次数 =(M1)的次数+ (M2*M3*M4*M5)的次数+p[0]*p[1]*p[5]                     

     2.(M1*M2)*(M3*M4*M5)的次数=(M1*M2)的次数+(M3*M4*M5)的次数+p[0]*p[2]*p[5]

     3.(M1*M2*M3)*(M4*M5)的次数=(M1*M2*M3)的次数+(M4*M5)的次数+p[0]*p[3]*p[5]

     4.(M1*M2*M3*M4)*(M5)的次数=(M1*M2*M3*M4)的次数+(M5)的次数+p[0]*p[4]*p[5]

其中单个矩阵相乘的次数显然为0,我们再取其中求得最小的次数作为最终M1*M2*M3*M4*M5最小链乘次数.这样的话，我们其实就可以很简单的获得动态规划下数组的意义和递推关系式,dp[i][j];表示下标从i~j的这部分矩阵的最小链乘次数,其中矩阵下标从1到n，递推关系式如下:

dp[i][j]=0                                                                                                                (i=j)

           =min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]} (其中i<=m<=j)                     　　  (i<j)

这样就和容易得到下面得解题代码:

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define Max_N 100+1int p[Max_N];                //存放各个矩阵的行列数 ,第i个矩阵大小为p[i-1]*p[i] int dp[Max_N][Max_N];         //矩阵下标从1~n,dp[i][j]表示下标从i~j的这部分矩阵的最小链乘次数 int main(){	int n=6;	cin>>n;		for(int i=1;i<=n;i++)	{		cin>>p[i-1]>>p[i];		dp[i][i]=0;	}        //int p[]={30,35,15,5,10,20,25};      //测试使用 	//cout<<endl;	for(int l=2;l<=n;l++)	{		for(int i=1;i<=n-l+1;i++)		{			int j=i+l-1;			dp[i][j]=999999999;		    for(int k=i;k<j;k++) 		    {   //测试使用 		    	//cout<<"dp["<<i<<"]["<<k<<"]:"<<dp[i][k]<<"-";				    //cout<<"dp["<<k+1<<"]["<<j<<"]:"<<dp[k+1][j]<<"-"; 			    //cout<<p[i-1]*p[k]*p[j]<<endl;		    	dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]);		    	//cout<<"dp["<<i<<"]["<<j<<"]:"<<dp[i][j]<<endl;		    }		  	//cout<<"------------"<<endl;		}	}	cout<<dp[1][n]<<endl;	return 0;}　　但是到这并不结束，下面我想说的是在解题时我的一个错误，并分析给大家，以此借鉴:接下来是我的源码:
#include<iostream>#include<algorithm>               //注意，该方法是错误方法 using namespace std;#define Max_N 100+1//int p[Max_N];                //存放各个矩阵的行列数 ,第i个矩阵大小为p[i-1]*p[i] int dp[Max_N][Max_N];         //矩阵下标从1~n,dp[i][j]表示下标从i~j的这部分矩阵的最小链乘次数 int main(){	int n=6;	//cin>>n;		for(int i=1;i<=n;i++)	{		//cin>>p[i-1]>>p[i];		dp[i][i]=0;	}        int p[]={30,35,15,5,10,20,25};	for(int i=0;i<=n;i++)	{		cout<<p[i]<<" ";	}	cout<<endl;		for(int i=1;i<=n;i++)	{		for(int j=i+1;j<=n;j++)		{		  	dp[i][j]=99999999;		  	for(int mid=i;mid<j;mid++)       //分成两个矩阵相乘,i~k和k+1~j 		  	{    //下标i~k的矩阵相乘结果为大小为p[i-1]*p[mid]的矩阵 		  	    //下标k+1~j的矩阵相乘结果为大小为p[mid]*p[j]的矩阵				  //最后两者矩阵相乘，链乘次数为p[i-1]*p[mid]*p[j] 			  //cout<<"dp["<<i<<"]["<<mid<<"]:"<<dp[i][mid]<<"-";				  //cout<<"dp["<<mid+1<<"]["<<j<<"]:"<<dp[mid+1][j]<<"-"; 			  //cout<<p[i-1]*p[mid]*p[j]<<endl;		  	  dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][mid]+dp[mid+1][j]+p[i-1]*p[mid]*p[j]);		  	  //cout<<"dp["<<i<<"]["<<j<<"]:"<<dp[i][j]<<endl;		  	}		  	//cout<<"------------"<<endl;		}	}		for(int i=1;i<=n;i++)	{		for(int j=i;j<=n;j++)		{			cout<<"dp["<<i<<"]["<<j<<"]:"<<dp[i][j]<<endl;		}	}	cout<<dp[1][n]<<endl;	return 0;}　　我将示例中的测试案例写在了程序中，便于每次的调试。上述代码的问题就在于其循环时的变量范围，虽然说两种代码最终都保证dp[i][j]中的下标范围从1变化到n,但是第二种的方法就错在一下:
   　 该方法的作物之处就在于i,j下标是不断依次增大的，这样的话在进行下面一句话: 
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][mid]+dp[mid+1][j]+p[i-1]*p[mid]*p[j]) 时， 在 dp[mid+1][j]中mid+1>i的情况下，用 dp[mid+1][j]来求dp[i][j]，相当于用之后遍历到的来求之前的数据，这样在未遍历到dp[mid+1][j]时，其值恒为0,也就是说从mid+1到j矩阵链乘次数为0,这样显然是不可能的。
　　所以为了避免这种情况，首先要想到对于多个矩阵的相乘，其肯定是由其小部分的矩阵链乘结果得到的，那么就不能按照下标从小到大顺序遍历，那么就应该用下标范围的长度来作为遍历，也就是说先遍历完短范围的矩阵链乘结果，再得到大范围链乘结果，抛开一句，这里之所以不能用i,j下标作为遍历标准，就是因为其求结果的时候，并不是说先求小坐标的矩阵，而是先求小范围，也就是长度小的范围内，矩阵的链乘结果，比如，应该先求 M5*M6*M7,之后再去求M2*M3*...M7,其实就是因为后者的求取需要其一部分矩阵相乘的结果 。
　　　其实这题就告诉我们，动态规划解题时，我们要找准递推式中前后变量的范围，并在保证后者求出结果后再进行递推，这样就要求我们在保证动态数组变量范围不变的情况下，找到正确的下标变化过程。
PS:看书，解题越多，并且感悟越多，对于提升能力肯定是有帮助的，不能只是机械地敲书上的代码~