现在继续讨论卫星的个数：如果一切理想的话，四颗卫星就可以确定三维坐标。但实际中，由于user clock inaccuracy，所以还需要一颗卫星来排除时钟的漂移导致的错误。因此，需要５颗卫星！但是，如果强行用4颗卫星的话，由于有时钟误差，计算结果有两个位置，一个close to the surface,一个在space,而在space的可以容易排除，因此也能用4颗，说得比较绕！下图就说明为啥是二次方程组了，为啥需要四颗卫星了，因为有四个未知数：xu,yu,zu, and bu(时钟误差) 
通常接受的卫星信号来自4~11颗，有两种方法，一种是全部使用，另一种是选用４颗，选用的标准是四颗卫星位置越独立越好，见Fig.2.8.所谓越独立，就是四个位置的连线组成的四边形面积越大越好，所以图(a)就不好，三个卫星在一条线，图(b)就好，能形成一个四边形！ 
多普勒效应：卫星速度3874m/s,对地面user的相对速度就是vd=vs*sin(beta)，最大的相对速度为929m/s. 最小就是0（当锤直的时候）最大的多普勒频移是4.9khz.也就是说多普勒的范围是-5khz~5khz。 
5.注意，多普勒的计算如下：多普勒频移和发射信号的载频有关系，成正比，下图中：fr就是信号频率，这里就是用的gps射频信号载频计算得到载频的多普勒频移；如果是对c/a code而言，多普勒影响就很小，因为c/a码的频率是1.023mhz,所以：只有3.2HZ。也就是说多普勒本质是一个相对概念。相对谁呢？相对发送信号源的运动速度，还相对发送源的电磁波的”运动”速度(就是:电磁波的频率啦) 
继续讨论多普勒的影响，假设地面的接收机是高速运动，那么对c/a码而言最大的多普勒就是6.4hz. 6.4hz在物理上意味着什么？如果c/a码的采样率是5mhz,那么每个码片长200ns, tracking的任务就是让本地产生的c/a码和接收到的信号对齐，或者至少让时间差距小于半个码片，100ns。由于doppler的原因，6.4hz就是说1秒导致6.4次变化，对c/a码来说一次变化就是一个1.023mhz的倒数(977.5ns)的长度，所以：每经过1/6.4＝156.3ms的时间就会漂移977.5ns，或者说没16ms就漂移100ns.也就是说，如果采样率5mhz,那么我们每隔16ms就要检查是否对齐，否则就跟踪不上了！研究多普勒，除了看绝对值，还看变化率，也就是高阶函数，才算对这个多普勒认识清楚。比如，多普勒平均变化率，如果只考虑卫星运动，那么这个平均值只有0.54hz/s；由于变化率不是均匀的，有的角度变化率大，有的角度变化率小，那么还需要找最大的变化率，就是0.936hz/s，可以看出最大的变化率比均值大很多。上面是假设接收机stationary，如果接收机是在aircraft上，那么加速度很大的时候，例如：1g(
下面公式就表示了L1用qpsk同时传送p码和c/a码。由于卫星高度为2万公里，所以信号强度很微弱，-130dbm左右，所以用c/a码的作用之一就是得到扩频码的扩频增益！ 
cdma信号：这个比较熟悉。这里复习一下：如果码片的速率高于信号速率，就是扩频系统；如果码片率是1mhz,那么由于码片翻转在时域上是一个矩形窗口，则在频率上就是一个sinc函数，而且main lobe的带宽就是2mhz. 问题：这里需要用成型滤波啊？p码的码片速率是10.23mhz,所以根据上文介绍，频谱带宽就是20.46mhz,码片length就是1/10.23=97.8ns,p码是PRN码(pseudorandom noise code),周期一共有38周（超过半年才能循环一次），实际中是每一周就复位一次。c/a码的码片速率是1.023mhz,所以带宽就是2.046mhz,每个码片length是977.5ns. c/a码周期就短，只有1023个码片，因此一个周期就是1ms。c/a码本质就是gold码。gps帧结构：卫星导航数据率是50hz,那么一个bit需要20ms，因此一个bit就对应20个c/a码周期，算很长了；30个导航数据bit构成一个Word; 10个word又构成一个subframe（６秒）；5个subframe构成一个page（３０秒）；25个page构成一个superframe. c/a码产生：由两个1023-PRN 序列产生器产生的gold码。每个序列发生器都是由10比特的移位寄存器组成。卫星的identification(id)就是由序列的相位决定的，一共有37个独立的相位位置，其中32个用来c/a码，当时只有24颗卫星在轨，所以只分配了24个相位。如下图：不同的c/a码从G2不同的抽头输出，这个要仔细研究gold码，看为什么不同抽头的相位独立。第二次看的时候，又观察了下图，发现G2输出不是从最后一个位置输出，而是从中间选取两个位置的输出经过模二加之后再输出，虽然两两组合的可能理论上有45(10*9/2),但是独立的只有37种，我又截了一个图反应了不同的组合得到不同的c/a码，这些码起始相位就是卫星的id了。 
c/a码性质：说c/a码性质，其实说的是gold码性质，或者是伪随机码性质：相关性。理想的c/a码需要有强的自相关性，几乎为0的互相关性。其中，自相关性是说同一颗卫星发出的c/a码不同相位的序列相关；互相关性是指不同的卫星发出的c/a码的不同相位序列相关。下图，就说明了c/a码良好的相关性能。 
11. 帧数据介绍：（5.9~5.17以后再看！）
一旦得到上图的载波，就可以用fft来求频率。如果数据长度是1ms,那么fft的分辨率就是1khz。为什么呢？这样好理解啊。1ms的时间，可以表示的周期最长的信号也是1ms,也就是说如果有一个信号周期是2ms,那么在1ms的时间内只有半个周期，因此能表示的最小频率就是1/1ms=1khz,这也是fft的分辨率，所谓分辨率就是最小可以表示的频率。继续讨论FFT找载波频率。如果采样率5mhz,那么在1ms中就包含了5000个采样点，因此就需要5000-point FFT。由于是实数输入，那么这5000个FFT就是complex conjungate的，即：前面2500个点就包含了所有的信息。由于频率分辨率是1khz,那么2500个点就可以表示2.5mhz的信息，这么看fft还是线性的，如果有的频率变化快，有的频率变化慢，这就不行了。突然感觉自己以前对dsp的理解太low了，只知道记公式，公式是美丽，但是物理意义才更美丽，这是题外话！刚才说可以表示2.5mhz的信息，但是我们其实关心的只是多普勒频偏，而不是整个载频，也就是20khz的范围，那么显然2.5mhz就太多了，因此：直接的方法就是只需要计算21个输出值，用dft即可。这样做的话，可以节省大量时间和能量，比如：输入的c/a码和本地的c/a码在1ms内需要做乘法，由于有5000个采样点，每移动一次就要做5000次乘法和５5000-point FFT，所以需要做5000×5000次FFT，这么看数据量就太大了，而如果只做21-point DFT,那么就只需要5000*21次DFT。用上面的dft的方法，由于需要用本地产生的c/a码和输入的c/a码每移动一位都做乘法和fft,然后找频率的超过pre-defined threshold中的最大值，如果找到最大值，就可以把现在的本地的c/a码的位置记录下来，这就是c/a码的开头。而且，由于码片的length是200ns,也就是说找到的c/a码的开头有200ns的分辨率，或者说200ns的误差，而且由于整个data的长度是1ms,所以多普勒频率的分辨率就是1khz. 这个思路可以很容易generalize: 现在我们考虑10ms的data，那么由于采样率不变，所以时间分辨率还是200ns,但是由于10ms和1ms相比，允许周期更长的信号出现，即:最多可以有10ms为周期的信号，因此频率分辨率就是100hz,能得到这个100hz的是要付出很大代价的，因为现在我们需要做50,000-pointFFT, 而之前只需要5000-point FFT，而fft长度增加10倍，复杂度增加会超过10倍，所以整个复杂度不是线性增加的！time domain correlation：这才是第二种方法，除了用fft来做，还可以用时域相关的方法来做。这个方法本地产生的c/a码不再是简单的c/a码，还把RF信号加入在里面。由于采样后的信号的载波是1.25mhz,那么考虑频偏在+/-10khz,那么就有21中可能的RF信号可能性，所以本地产生的信号就是如下： 
其中，Cs代表24颗卫星中某一颗的c/a码，注意：这里都是认为已知卫星的c/a码，只是不知道初始相位，fi代表不同的射频频率，如：1250-10,1250-9,1250-8,…,1250+10khz，也就是这些不同的频率是考虑了多普勒。产生了这个本地信号后，仍然需要数字化成5mhz的数据，即：每1ms仍然是5000-point,这些点和输入数据相关，所谓相关，就是乘累加，如果本地的c/a码包含正确的c/a码和正确的频率，那么相关结果就会成高，产生一个峰值。如下图： 
这个过程是这样的，每200ns,输入的数据就多收到一个，就把现在的5000个输入的复数和local的5000个复数做相关得到的一个复数，把这个复数的幅度计算出来就代表现在的相关结果。所以，5000个数据输入，就需要做5000次的这样的乘法，也得到5000个幅度值，那么21路并行的处理，就得到21*5000个幅度值，选取最大并cross the threshold的值，此时对应的fi就是接收到的信号的fi，此时的数据的起始相位就是Cs的相位。相位这个，怎么理解？由于已知24颗卫星的c/a码初始相位，所以上面的Cs的初始相位都是已知的固定的，所以需要移动接收到的射频数据和本地的c/a码做所有可能的尝试，确实很傻，不过1ms内最多尝试5000次，总能试出来找到正确的相位，如果相关出现峰值，就说明此时接收到的信号的c/a码的相位和本地的对齐，且接收到的c/a码的初始相位就是我们实验用的Cs的初始相位。继续讨论time domain correlation.这个方法本质就是做dft，和fft相比，这个方法更快，因为只需要遍历所有可能的相位和所有可能的频率偏移的组合，按照边界说，这个方法就是先找到解空间的具体的边界，然后遍历每一个可能的解，而之前基于FFT的方法则是盲计算，导致计算复杂度很高，所以好的方法总是搞清楚问题的边界，就在边界内求解！由于时域相关的方法得到的结果频率分辨率只有1khz,因为只用1ms的数据做dft,所以只有1khz.书上说，这个频率还不够精确，不能直接送到tracking program，还需要提高进度，如何进一步提高进度？在section 7.10讨论。拭目以待！继续讨论捕获。现在介绍关于相关的一些基本知识：circular convolution and circular correlation. 圆周卷积和圆周相关。在连续时间域，有如下关系： 
也就是说：时域卷积，频率相称；频域卷积，时域就相称。你看，为啥叫卷积，因为还是个积，只是换了一个域，或者说换了一个观察问题的角度。这个性质在离散时间域也有类似的，但又不一样，不是线性卷积，而是圆周卷积。相关和卷积也很相似，如下图： 
稍微一看，就知道，卷积和相关就差一个符号，所以在频域也很相似。再看下面公式，有个疑问，即使下面成立，也不能认为相位关系也是这样的吧，因为下面公式只表示了幅度关系。 
现在利用circular correlation来完成前面的time-domain相关。很简单： 根据上面的公式，把输入的1ms的5000点数据当成x[n],用FFT得到X(k)，然后得到
继续讨论delay and multiplication的方法，为了说明问题，下面截图就说明了delay如何选择的问题，把复数信号换成实信号，指数就变成cos()，在(7-19)中，高频可以滤波，最后剩下
现在来看这种delay乘的方法主要问题：由于上面表达式只表示了信号部分，没有表示噪声，实际上，噪声也是要相乘的，所以结果是噪声和噪声相乘，引入更多的噪声，也就是noise floor increase,信噪比就下降！因此，不能只依靠1ms的数据，在实际中，需要更长的数据。还有一个特性，如下图。就是delay相乘后的新code对navigation data transition不再敏感，你看新的code只有2个bit受到影响，也就是2/5000的数据受到影响，因此影响可以忽略了。因此，不再受到之前讨论的10ms数据长度的限制了，由于navigation data transition对新的code的影响变小，因此这个方法可以做到精度更高。 
理论上，1ms的数据就包含了完整的信息，就可以用来得到c/a码的初始相位和载波多普勒频偏。但实际中，都会通过采集处理长时间的信息来增加信号snr，提高频率分辨率等。书上介绍了两种方式： 第一种是non-coherent的，这个就简单粗暴了。如果用2ms的数据，那么对每1ms分别处理，然后再求和。但是怎么相加？把谁和谁相加？这个没讲清楚，就说这么一加，信号功率变成两倍，但噪声功率只变成
首先
4.用laplace变换是为了计算状态转移。需要复习为啥laplace变换可以这么牛！如下图，
为了研究pll的性质，书里采用了两种不同的输入如下图。一种是输入为阶跃函数；另一种为调频信号。 
上图到底是传统的结构，还是数字的结构啊？先不管，来看两个tracking loop如何交替的工作的。这个工作很有趣： 首先看c/a code loop,就是上图的偏上面一个loop。，这个loop会产生三个输出：一个early c/a码，一个late c/a码，还有就是prompt c/a码，按照我的叫法就是on-time c/a码。其中，只有最后的prompt码才输出给carrier loop使用。其他的early和late码就是迟早门所需要的，用来调整时间是否对齐用的。所谓early和late码是和prompt码时间上早或晚半个chip的时间长度，我在看书的时候，刚开始以为是相差半个采样周期呢，最后发现是相差半个c/a码的长度，所以如果c/a码的码率是1.023m,那么半个码片就是
。通常情况下，如果对输入信号完全不知道，那么就需要计算所有的k值(0~N-1),然后比较求最大幅度的值，这就必须借助FFT减少计算次数；如果输入信号的频率知道一些，即：有1khz或100hz左右的分辨率也就是误差啦，这时候，我们就没必要计算所有的k值，完全可以根据目前的频率值(有误差)/频率分辨率=k值，然后直接用dft计算一个
评论一下：这个方法确实绝了。fft只是explore一段时间内频率的分布，但是不同时间段频率的变化就不能容易得到，所以用前后相继的数据块的相位变化就可以得到多普勒的变化，而且精度比fft还高，但这个方法必须是建立在fft基础上，即：首先得有利用fft捕获到粗分辨率的载波。也就是，fft和bass配合使用，而且不需要用反馈，就可以得到高精度的载波。问题：前面讨论捕获的时候，也提到了用相位之差来提高捕获的精度的。需要对比一下！本质都是一样。
因此需要每次把这个不连续相位给扣除。具体的就不表！
如何调整这个early和late就可以提高时间精度呢？还得继续看下面图。图中，显示的相关函数峰是c/a码自相关函数，当输入的c/a码和本地产生的c/a码完全对齐，产生相关峰值1023,如果有偏移，无论左偏还是右偏，相关值都会变小，注意：由于c/a码的码率是1.023mhz,所以每个chip的长度是977.5ns，因此相关峰的物理意义就是往左移动977.5ns相关峰就为0，往右移动977.5ns也变成0。因此，我们让early和late的c/a码和prompt的c/a码都相差2个采样周期，即:d=400ns,这样，我们通过同时把三组c/a码和input的c/a码相关得到三个值
现在可以讨论如何提高时间精度了。如下图: 
当输入的c/a码开始位置比prompt的开始位置相差大于1/2个采样周期(即：大于100ns)，那么可以如图fig8.10这样调整prompt往前一个采样周期，这样相位相差就小于100ns，也就是说可以把时间分辨率从200ns降低到100ns。为什么不能更小呢？现在举例：如果极限情况下，输入的c/a码是采样输入的，但是采样的位置和真实的位置刚好相差100ns,那么即使如何调整prompt，都是相差100ns.不可能更下的误差了。这里需要说明的是，bass虽然是每个1ms都计算，但是并不是每个1ms都更新，而是10ms才更新，原因是，c/a码的多普勒频移最多6.4hz,所以没16ms才会偏移100ns。因此，每10ms调整一次就足够了！ 新闻热点
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