【Noip2009】hankson的趣味题

题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现

在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现

在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公

倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整

数 x 满足：

1． x 和 a0 的最大公约数是 a1；

2． x 和 b0 的最小公倍数是 b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的

x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮

助他编程求解这个问题。

输入输出格式

输入格式：

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每

行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入

数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

输出格式：

输出文件 son.out 共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；

若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

输入输出样例

输入样例#1： 2 41 1 96 288 95 1 37 1776 输出样例#1： 6 2

说明

【说明】

第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。

第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且 n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

NOip 2009 提高组 第二题

第一次自己证明出数论类问题…鸡冻>w<，虽然效率爆炸…不过..不过，就是鸡冻辣！！！

【思路】 ∵gcd(a,b)∗lcm(a,b)=a∗b$∵gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b$ 由题意得：lcm(x,b0)=b1$由题意得：lcm(x,b0)=b1$ ∴x∗b0=b1∗gcd(x,b0)$∴x*b0 = b1*gcd(x,b0)$ x$x$=b1b0$/frac{b1}{b0}$∗$*$gcd(x,b0)$gcd(x,b0)$ 不妨设gcd(x,b0)=m$不妨设gcd(x,b0)=m$ 则有{x=b1b0∗m①gcd(x,b0)=m②$则有/begin {cases} x=/frac{b1}{b0}*m ①///gcd(x,b0)=m ②/end {cases}$ 由②：xm与b0m互质$由②：/frac{x}{m}与/frac{b0}{m}互质$ 结合①有：b1b0与b0m互质$结合①有：/frac{b1}{b0}与/frac{b0}{m}互质$ 考虑到：b0m=b1x$考虑到：/frac{b0}{m}=/frac{b1}{x}$ ∴b1b0与b1x互质$∴/frac{b1}{b0}与/frac{b1}{x}互质$ ∴gcd(b1b0,b1x)=1Δ$∴gcd(/frac{b1}{b0},/frac{b1}{x})=1/Delta$ 此时考虑第一个条件gcd(x,a0)=a1$此时考虑第一个条件gcd(x,a0)=a1$ 易证gcd(a0a1,xa1)=1Δ$易证gcd(/frac{a0}{a1},/frac{x}{a1})=1/Delta$

上述两个标了三角形的条件即是我们的结论$上述两个标了三角形的条件即是我们的结论$ 为了考虑枚举时的剪枝，可以结合整除性$为了考虑枚举时的剪枝，可以结合整除性$ ∵lcm(x,b0)=b1$∵lcm(x,b0)=b1$ ∴x|b1$∴x|b1$ ∵gcd(x,a0)=a1$∵gcd(x,a0)=a1$ ∴a1|a0且a1|x$∴a1|a0且a1|x$

所以只要考虑即是b1的因数又是a1的倍数的x即可$所以只要考虑即是b1的因数又是a1的倍数的x即可$ 同时还有一个小技巧，我们可以只去枚举1至b1−−√的i，同时考虑b1/i就能缩小枚举范围$同时还有一个小技巧，我们可以只去枚举1至/sqrt{b1}的i，同时考虑b1/i 就能缩小枚举范围$

hhhhhhhhhhhhh

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