FFT入门

FFT(快速傅里叶变换)是上个学期学会的东西，由于接下来要玩母函数，所以现在写篇博客复习一下。FFT可以在O(nlogn)$O(n/log n)$的时间内完成多项式乘法。

问题

给定两个十进制数（105$10^5$位），求它们的乘积。

不妨把它归为一个多项式乘积的问题：每一位都是一个系数，那么1234*2333就变成了：

(x3+2x2+3x+4)∗(2x3+3x2+3x+3)$/displaystyle (x^3+2x^2+3x+4)*(2x^3+3x^2+3x+3)$

对于多项式乘积问题，显然跑O(n2)$O(n^2)$的朴素高精度乘法是过不了的。考虑我们计算a×b$a /times b$的方式：令X$X$为答案，则有：Xn=∑i=0nai×bn−i$/displaystyle X_n = /sum_{i=0}^n a_i/times b_{n-i}$

因此，我们做的事情是直接计算答案的每一位。现在我们换一种思路。

点值表达

之前我们使用的(x5+233x3+x)$(x^{5}+233x^3+x)$这种表达方式，被称为系数表达。因为它给出了系数向量：(1,0,233,0,1,0)$(1,0,233,0,1,0)$。

但是考虑这样一个事实：给定n$n$个点，可以唯一确定一个n−1$n-1$次多项式函数。至于如何确定，有高斯消元和拉格朗日插值法。

因此我们拥有了一种全新的表达多项式的方式：点值表达。给出n+1$n+1$个点，可以表达一个多项式。例如：(0,0),(1,1),(2,4)$(0,0),(1,1),(2,4)$是多项式(x2)$(x^2)$的一种点值表达。一个多项式有无数组点值表达。

有什么用呢？ 考虑多项式的加法A+B$A+B$，生成的多项式的点值表达，可以由A$A$和B$B$的点值表达得到。在A$A$和B$B$上取相同的一些x$x$，求出对应的点值表达：A:(x1,ya1),(x2,ya2)⋯$A:(x_1,y_{a1}),(x_2,y_{a2})/cdots$B:(x1,yb1),(x2,yb2)⋯$B:(x_1,y_{b1}),(x_2,y_{b2})/cdots$

则A+B:(x1,ya1+yb1),(x2,ya2+yb2)⋯$A+B :(x_1,y_{a1}+y_{b1}),(x_2,y_{a2}+y_{b2})/cdots$

看图很好理解：

我们把从点值表达变成系数表达的过程乘坐插值。

那么多项式的乘法也类似。大概是这样的步骤：

单位复数根

对着数学书脑补一番就解决了。

单位复数根：ωkn$ω_n^k$均匀分布在以(0,0)$(0,0)$为中心的复平面圆上。n=8$n=8$时长成这样：

ωkn=e2πikn$ω_n^k=e^{2πi/frac{k}{n}}$（注意其中的i$i$是虚数单位）。欧拉告诉我们，eiu=cos(u)+isin(u)$e^{iu}=cos(u)+isin(u)$，故有：ωkn=cos(2πk/n)+isin(2πk/n)$ω_n^k=cos(2πk/n)+isin(2πk/n)$.

看图应该能脑补出来：尽管ωkn$ω_n^k$有n$n$种取值，(ωkn)2$(ω_n^k)^2$只有n2$/frac{n}{2}$种取值。

在图中的意义是：第一象限点的平方与第三象限点的平方一致；第二象限点的平方与第四象限点的平方一致。因为(a+b)2=(−a−b)2$(a+b)^2=(-a-b)^2$。

由于这货的性质，我们选择单位复数根作为x$x$坐标进行求值。

FFT

关键步骤：将A=∑i=0naixi$/displaystyle A=/sum_{i=0}^n a_i x^i$拆分为：A0=a0,a2x,a4x2,⋯,an−2xn2−1$A_0={a_0,a_2x,a_4x^2,/cdots,a_{n-2}x^{/frac{n}{2}-1}}$A1=a1,a3x,a5x2,…,an−1xn2−1$A_1={a_1,a_3x,a_5x^2,…,a_{n-1}x^{/frac{n}{2}-1}}$ 则有：A(x)=A0(x2)+xA1(x2)$A(x)=A_0(x^2)+xA_1(x^2)$

由于我们使用单位复数根进行求值，则x2$x^2$只有n/2$n/2$种取值。我们把问题规模成功降低了一半！

那么如何插值回来呢？令ωkn=cos(2πk/n)−isin(2πk/n)$ω_n^k=cos(2πk/n)-isin(2πk/n)$即可。（这里变成减号）

上面那段话并不清楚，因为我太弱了，根本讲不清楚。要完全理解上面的话，推荐看完代码，然后啃一啃《导论》。

所以我们就写出了代码：uoj #34.多项式乘法

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <complex>#include <iostream>using namespace std;typedef complex<double> cp;                     //complex库void fft(cp *a,int n,int flag)                  //作用：求出a的点值表达，存进a{    int i;    cp a0[n/2+1],a1[n/2+1];    if(n==1) return;    cp w_n(cos(2*M_PI/n),sin(flag*2*M_PI/n));   //flag=1:求值  flag=2:插值    cp w(1,0);    for(i=0;i<n/2;i++) a0[i]=a[i*2],a1[i]=a[i*2+1];     //分治    fft(a0,n/2,flag);    fft(a1,n/2,flag);    for(i=0;i<n/2;i++)    {        a[i]=a0[i]+w*a1[i];        a[i+n/2]=a0[i]-w*a1[i];        w=w*w_n;                                //递推单位复数根    }}cp x[300005]={0},y[300005]={0};int n,m;void init(){    int i;    scanf("%d%d",&n,&m);    for(i=0;i<=n;i++) cin>>x[i].real();    for(i=0;i<=m;i++) cin>>y[i].real();    m+=n;    for(n=1;n<=m;n=n*2);}int main(void){    int i;    init();    fft(x,n,1);                                 //求值    fft(y,n,1);                                 //求值    for(i=0;i<n;i++) x[i]=x[i]*y[i];            //点值乘法    fft(x,n,-1);                                //插值    for(i=0;i<=m;i++)        PRintf("%d ",int((x[i].real())/n+0.5));       //四舍五入输出    return 0;}
跑了4460ms。提交记录  递归版的比较慢（废话），迭代版的跑得比香港记者还快。  
然而我并不会蝴蝶操作那套理论，请看riteme的博客：有关多项式的算法
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riteme 快速数论变换(NTT) 简要介绍了快速数论变换。xlightgod UOJ34 多项式乘法适合入门FFT。我就是在那里学习了一个。iamzky 快速傅里叶变换讲解很详细。