最大子段和，二分法变异，动态规划

先描述“最大子段和”的概念，然后用分治法和动态规化来解决，最后添加一些功能。

对于n个元素的整数数列（可能还有负整数），求任意连续m个数（m<=n），使其和为最大。如果该子段均为负数，定义其和为0.

比如{-2 11 -4 13 -5 -2},的最大子段和为{11，-4,13}，其和为20。

该问题不能采用简单的分治法来解决，比如上面的数组分成{-2,11，-4}和{13，-5，-2}后，一个子问题的解是11，另一个是13，然而都不可能达到最终解。

所以这个问题的两个子问题不是相互独立的，需要涉及子问题的交互。故采用变异的二分法来处理。

 intmaxSub_binary(constvector<int>&nums,intleft,intright){

   if(left==right)returnnums[left]> 0 ? nums[left]: 0;//处理只有一个数字的情况。

   intmid = (left + right)>> 1;//分为两部分

   intmaxSum_left = maxSub_binary(nums,left,mid);//左边递归求解

   intmaxSum_right = maxSub_binary(nums, mid +1, right);//右边递归求解

    //处理脚踩两条船的子段

   intleftSum(0);

   for(inti(mid), tmpSum(0); i >= left; --i) {

       tmpSum+= nums[i];

       if(tmpSum > leftSum)leftSum = tmpSum;

   }//fori

   intrightSum(0);

   for(inti(mid + 1), tmpSum(0); i <= right; ++i) {

       tmpSum+= nums[i];

       if(tmpSum > rightSum)rightSum = tmpSum;

   }//fori

    //比较子段和的大小，选择返回哪一部分的子段和

   intmaxSum_twoParts = leftSum + rightSum;

   if(maxSum_twoParts < maxSum_left&&maxSum_right < maxSum_left)returnmaxSum_left;

   if(maxSum_twoParts < maxSum_right)returnmaxSum_right;

   returnmaxSum_twoParts;

}//maxSub_binary

如果分治法的子问题不能相互独立，也就是子问题相互重叠的情况，一般采用动态规划法来解决。

int maxSub_dp(constvector<int>&nums) {

   intret(0);

   intlen = (int)nums.size();

   vector<int>dp(len, 0);

   dp[0]=nums[0];

   for(inti(1); i < len; ++i) {

       if(dp[i - 1]> 0)dp[i]= dp[i - 1]+nums[i];

       elsedp[i]=nums[i];

       if(dp[i]> ret)ret = dp[i];

   }//fori

   returnret;

}//maxSub_dp

下面的代码在之前函数的基础上，进一步得到最大子段和的长度，注意长度信息的添加位置。

由于maxSub_len_binary的返回值用来返回最大子段和的值，只能将长度信息反映在一个引用参数curLen上了。

maxSub_len_dp也是类似处理。

int maxSub_len_binary(constvector<int> &nums,intleft,intright,int&curLen) {

   if(left==right) {

       curLen= 1;

       returnnums[left]> 0 ? nums[left]: 0;

   }//if

   intmid = (left + right)>> 1;

   intleftLen(0);

   intmaxSum_left = maxSub_len_binary(nums,left,mid, leftLen);

   intrightLen(0);

   intmaxSum_right = maxSub_len_binary(nums, mid +1, right, rightLen);

   intleftSum(0), leftPartLen(0);

   for(inti(mid), tmpSum(0), tmpPartLen(0); i >= left;--i) {

       tmpSum+= nums[i];

       ++tmpPartLen;

       if(tmpSum > leftSum)leftSum = tmpSum, leftPartLen = tmpPartLen;

   }//fori

   intrightSum(0), rightPartLen(0);

   for(inti(mid + 1), tmpSum(0), tmpPartLen(0); i <= right;++i) {

       tmpSum+= nums[i];

       ++tmpPartLen;

       if(tmpSum > rightSum)rightSum = tmpSum, rightPartLen = tmpPartLen;

   }//fori

   intmaxSum_twoParts = leftSum + rightSum;

   if(maxSum_twoParts < maxSum_left&&maxSum_right < maxSum_left) {

       curLen= leftLen;

       returnmaxSum_left;

   }//if

   if(maxSum_twoParts < maxSum_right) {

       curLen= rightLen;

       returnmaxSum_right;

   }//if

   curLen= leftPartLen + rightPartLen;

   returnmaxSum_twoParts;

}//maxSub_len_binary

int maxSub_len_dp(constvector<int> &nums,int&curLen) {

   intret(0);

   intlen = (int)nums.size();

   vector<int>dp(len, 0);

   dp[0] = nums[0];

   inttmpLen(1);

   for(inti(1); i < len; ++i) {

       if(dp[i - 1] > 0)dp[i] = dp[i - 1] +nums[i],++tmpLen;

       elsedp[i] =nums[i], tmpLen = 1;

       if(dp[i] > ret)ret = dp[i],curLen =tmpLen;

   }//fori

   returnret;

}//maxSub_len_dp