有限差分光束传播法过渡波导功耗分析

2019-11-03 18:23:45

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供稿：网友

　　潘卫清，何对燕，李志宏，董　勤

　　(武汉大学电子信息学院，湖北武汉430079)　

　　摘　要：为了在既定尺寸下减小斜坡波导和弯曲波导的功耗,设计了4种过渡波导形状函数，用有限差分光束传播法(FD-BPM)进行了模拟分析，发现过渡波导形状的选取与坡度和曲折角存在条件关系，并给出了条件表达式和详细说明.

　　关键词：光波导；有限差分光束传播法；集成光学

　　随着光电子产业的迅速发展，越来越多的有源及无源光子、光电子器件趋于集成化，这些器件往往有复杂的光波导结构，很难有具体的解析解.因而，用快速精确的数值模拟来作为器件的理论依据就愈加显得重要.1989年KochTB[1]等首先提出了基于Helmholtz方程的有限差分解法，该方法快速简单而且精确，是目前较为优越的光波导器件分析算法.

　　斜坡波导和弯曲波导是集成光电子器件中两种重要的过渡器件单元.斜坡波导用于连接两个中心轴重合而宽度不同的直波导，相关文献极少，是本文讨论的重点；弯曲波导用于连接两个宽度相同且中心轴平行的直波导.以前计算弯曲波导损耗的方法有Macatili和Miller发展的“速率法”[2]，也有文献用FFT-BPM法对它进行了计算[3].由于这两种波导都是动态单元，对于它们的分析不可能如同简单的平面波导一样进行本征分析，光在其中传播是动态的而非固定本征的，所以在本文中将使用有限差分光束传播法(FD-BPM) [4]来进行分析. 通过分析可以看出该方法用于分析动态波导的优越性，其结果对于实际工程中进行相关波导的优化设计具有重要的参考价值.

　　1　FD-BPM的原理

　　φ(x,z)exp(-iwt)形式下的单色波，对二维波导，可写成标量波方程

z)φ＝0.其中，z为波导传播方向；ω为光的角频率；n(x,z)是介质折射率，令φ(x ,z)=u(x,z)exp(ikrz),kr为任意常数，要求它的选择使u(x,z)是z的缓变函数，把此式代入波动方程，忽略φ2

依赖于空间坐标的波数，离散u(x,z)(记为

u(xs,zr))横向节点为xs=a+s× Δx；s=0,…,N；Δx=(b-a)/N；横向窗口范围为 (a,b);Δx为节距；N+1为节点总数；纵向(波导传播方向)节点位于zr=r×Δz；r =0,1,…；Δz为纵向步长.

　　在众多的差分格式中，选择绝对稳定的CrankNicholson格式[5]的修改格式，关于半步长点(s,r+1/2)作差分近似，因为公式完全等同于文献，这里不再列出.对于边界条件的选取，为了防止在计算窗口的边界引起反射，我们使用TBC[6]边界条件 .

　　2　过渡波导的BPM法分析

　　2.1　斜坡波导

　　斜坡波导是连接两不同宽度直波导的过渡单元，为了在既定尺寸下减小其功耗，我们设计了几种有可能减小功耗的波导形状，如图1所示.通过比较分析，得出了最佳的斜坡波导及其使用条件.

　　在图1中，Wi为斜坡波导入口端直波导宽度;Wo为出口端直波导宽度;L是斜坡波导长度;h=(Wi、Wo)/2是斜坡高度;R是圆弧曲率半径.经分析可知，一旦确定图1(a)中的Wi、Wo和L,则图1(c)、(d)的形状就可以唯一确定，而图1(b)未定，它可以用无数个不同曲率半径的圆弧进行连接，这些圆弧分别对应有不同的功耗，因此我们先进行单圆弧斜坡波导的功耗分析.我们规定凸圆弧的曲率半径＞0，凹圆弧的曲率半径＜0，斜线的曲率半径为无穷大.

　　在FD-BPM运算中将采用的参数：计算窗口300μm，差分网格数1000，直波导中计算步长5μm，过渡波导中的步长0.5μm.对于光波导的参数，为了加大斜坡波导坡度的变化范围，我们采用大宽度的单模波导，波导区的折射率为1.01，光限制层的折射率为1，真空中波长6.28μm.斜坡形状参数，入口端宽度Wi＝20μm,出口端宽度Wo 不定，用来改变斜坡的坡度α，斜坡长度L=0.1mm.由于斜坡波导的功耗与坡度直接有关，所以，我们计算了6个不同出口端宽度下的曲率半径与功耗的关系图，结果如图2(a )～(f)所示.各图所对应的出口端宽度分别为6、8、10、12、15和18μm,由于当曲率半径R＞20mm的功耗变化很小，基本接近于斜线连接的情况，所以R=20mm处用斜线连接的功耗来代替.

　　由图可见，功耗随出口端宽度的增大而减小，负曲率半径对应的功耗都比较大.正曲率半径部分的曲线都是先快速递减然后递增，因此存在一个最小功耗的曲率半径，我们称该半径为最佳曲率半径.当圆弧半径小于最佳曲率半径时，功耗会陡增，反之，功耗随曲率半径的增加而缓慢增长；当半径超过20 mm后其功耗基本不变，与斜线连接对应的功耗相等.所以在使用单圆弧连接时，其曲率半径应该等于或略大于最佳曲率半径，一定不能取的过小.比较图2(a)～(c)和(d)～(f),我们还可以看出随着出口端宽度的增加，其递增曲线变的平缓，说明大坡度的斜坡采取圆弧过渡效果比小坡度的更明显，如表1所示.由表1我们可以发现，当Wo＞15即坡度角α＜arctan(0.025)时，用圆弧优化的效果不明显，可以用斜线直接连接.

　　下面我们分析另外3种形状的斜坡波导：双圆弧R=(L2/4h+h/4)、正弦x(z)=hz/L-(h/2 π)sin(2πz/L)和余弦x(z)=h［1-cos(πz/L)］/2.为了跟单圆弧波导有个比较，我们加进了斜线连接的情况，计算结果如图3(a)～(d)所示.当斜坡长度L和出口端宽度Wo都比较大即坡度很小的情况下，采用双圆弧连接功耗最小，正弦曲线不能达到减小功耗的效果.从图3中我们还发现，双圆弧功耗曲线与斜线功耗曲线存在一交点，该点所对应的出口端宽度我们称为临界宽度，其坡度为临界坡度.当出口端宽度大于临界宽度时，可以采用双圆弧斜坡来减小功耗.通过大量计算我们发现，使用双圆弧的条件为Wo ＞20-0.006 L,其结果验证如表2所示.从表2中我们可以看到由20-0.006L计算出来的值都略大于或接近临界出口宽度.因此当斜坡出口宽度Wo＞20-0.006 L时采用双圆弧连接的功耗最小.当Wo＜20-0.006 L时应采用单凸圆弧连接，其曲率半径应等于或略大于最佳曲率半径.

　　2.2　弯曲波导

　　连接两平行直波导的弯曲波导如图4所示.对于一定的h值，要求尽可能缩短L,并且连接损耗越小越好.下面我们同样采用斜线、正弦、余弦和双圆弧4种弯曲波导的线型来进行比较分析.取波导参数：波导宽度方向x的折射率分布n(x)=2.1512+0.0035cosh- 2(2x/W)，波导中心为x零点，波导宽度W=6μm，真空光波长λ=1.3μm，可以验证，该波导为单模波导.FD-BPM计算参数不变.计算结果如图5(a)和(b)所示.从图中我们可以看到当曲折角h/L＜1/40时，采用正弦曲线功耗最小，当h/L＞40时，用余弦曲线连接功耗最小.

　　3　总结

　　我们用FD-BPM模拟分析了斜坡波导和弯曲波导的传输过程.其中我们设计了4种线型函数，作了功耗比较分析,发现过渡波导形状的选取与坡度和曲折角有很大关系，并给出了表达式.对于斜坡波导，在短距离和大坡度条件下应该考虑选用正曲率半径的单圆弧连接，但半径不能太小；大斜坡长度和小坡度条件下应该用双圆弧过渡.弯曲波导的形状函数也应该根据曲折角来选取优化.

　　参考文献

　　［1］Koch T B,Davies J B,Wichkramasinghe D.Finite element/finite diffe rence PRopagation algorithm for integrated optical device [J]. Electronics Let ters,1989,25(6):414-516.

　　［2］Marcatili E A,Miller S E.Improved relations decribing directional contr ol in eletrom genetic wave guidance [J]. Bellsyst.Tech.J.,1969,48(9):2161-21 88.

　　［3］严朝军,许政权,陈益新.确定一维单模波导特性的差分波束传输法 [J].上海交通大学学报,1996,31(7):73-76.

　　［4］陆金甫,顾丽珍,陈景良.偏微分方程差分解法 [M].北京:高等教育出版社,1988.

　　［5］Hadley G R. Transparent boundary condition for beam propagation [J]. Op t. Lett.,1991,16:624-626.

摘自光通信研究

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