本篇进行有效性和完备性的证明 上一篇讲到命题逻辑的语义时，我们也能感受到 ⊢ 和 ⊨ 的相似之处，本篇将证明两个定理，说明他们之间的充分必要关系。
命题逻辑的有效性（Soundness）
ϕ1,⋯,ϕn⊢ψ⇒ϕ1,⋯,ϕn⊨ψ
定义：若ϕi=T(true),i∈{1,⋯,n} 时 ψ 也为真，则 ϕ1,⋯,ϕn⊨ψ . 定理：ϕ1,⋯,ϕn,ψ 都是命题公式, 则当 ϕ1,⋯,ϕn⊢ψ 有效时 ϕ1,⋯,ϕn⊨ψ 证明：由于 ϕ1,⋯,ϕn⊢ψ 有效， 则有以 ϕ1,⋯,ϕn 为前提的有效证明，则对 ψ 公式长度归纳。 Base: 当前提 ϕ 的长度为1， 也就是原子命题时。只可能有一种情况就是 ϕ⊢ϕ, 显然当 ϕ=T,ϕ=T. 所以在长度为一时成立。
Inductive: 假设定理对长度小于 n 的公式都成立， 则当长度为 n+1 时：
-如果最后的公式最外层的运算是 ∧ , ϕ1∧ϕ2=ψ 其中 ϕ1∧ϕ2 的长度都小于等于 n+1， 则根据 ϕ1=T 和 ϕ2=T 的规则，可以证明 ψ=ϕ1∧ϕ2=T 。这可以由上一篇的真值表得来。 同样的之后对命题逻辑递归定义中出现的 ∨, → 做归纳就可以完成证明。
