其中r和s分别为输入灰度级和输出灰度级，c和β为正常数。根据图像的实际情况，调整参数c的取值可以改变图像的灰度动态范围，调整β的取值可以增强图像中感爱好区域的对比度。在c值不变的情况下，随着β值的变化将简单地得到一族变换曲线，如图1。从图1中可以看到，当β>1时该变换把输入窄带暗值映射到宽带输出值，当β<1的值和β<1的值产生的曲线有相反的效果。由于提取的图像的大边界，也就是灰度变化比较明显的各颗粒间的边界，而颗粒内部虽然存在灰度差，但灰度差较小，变化相对平稳，所以可以调节参数c适当压缩图像的灰度动态范围，从而平滑了图像，有利于后面的边界提取。
其中，g(i,j)为输入图像，g(i,j)和分别为M×N邻域内局部图像的均值和方差，σ2为整幅图像局部方差的均值，f(i,j)为平滑处理后的输出图像。恢复系数为：
对于一幅图像σ2是固定的，恢复系数k会随局部统计方差的变化而变化。在图像的平坦区域，相对较小，k值较小，用公式（2）平滑后，是对局部值做较小的恢复，或不恢复（k=0时）；而对应于灰度变化较大的区域，σ2（i,j）较大，k值也较大，则对局部值做较大的恢复。这就是自适应平滑原理，代价是存在边缘模糊较应。2 模糊检测
其中uF:[0,1]为F的隶属函数，uF(xj)表示xj属于集合F的程度。当u(x)的值域为{0，1}时，F就退化成一个普通（非模糊）集合。也就是说，普通集合可以看作是一个非凡的模糊集合，其隶属度为0或1。为了求得图像的边界，将定义为梯度的集合，xj定义为图像的梯度;uF(xj)表示梯度为xj的像素点是边界点的程度。2．2 边缘隶属函数在实际图像处理中，隶属函数是否合适是模糊集合能否成功运用的要害。现在研究的问题是多相晶粒图像的边缘检测，处理的是灰度图像，本文采用模糊统计法来确定隶属函数。通过大量实验发现，不同的多相晶粒图像的梯度直方图外形非常相似，如图2所示。由图2可见，梯度直方图主要集中在低值区域。这是因为颗粒内部各像素点与领域像素点的灰度值相差不大，而颗粒与颗粒之间像素点的灰度值相差较大，且前者数目远多于后者。统计所得隶属函数的外形近似如图3所示。故选取下型隶属函数：u(x)=(x-n)/(m-n) (5)其中，x为图像的梯度值， m和n分别为图像梯度的最大值和最小值。
式6中，u(xj)表示图像边缘隶属函数，p(xj)表示边缘出隶属函数u(xj)在图像中出现的概率，即图像梯度直方图中梯度值为xj时对应的梯度概率。2．4 边缘跟踪算法边缘跟踪算法如下：（1）按任意坐标轴方向扫描图像，找到一个非边界点；
（2）计算该点的隶属度u，假如u大于E（F），则该点为边界点，记录其行、列号，进行（3），否则返回（1）；（3）在该点的8邻域中寻找u最大的点，假如它是跟踪过的点，则返回（1），否则进行（4）；（4）假如未扫描完图像，返回（2）；假如所有的点都扫描完毕，则结束。跟踪结束后，将记录的边界点重新赋值可得到边界线条。3 后处理由上述方法得到的二值图像中边界线条存在毛刺且具有一定的宽度，直接使用这样的图形进行晶粒计算有一定麻烦，有必要对提取的边界进行平滑和细化。3．1 边缘平滑直接对提取的边界进行细化会产生许多多余的分枝短线，这是由于边缘存在许多毛刺引起的。可以使用数学形态学上的开操作与闭操作进行边缘平滑。开操作一般使图像的轮廓变得光滑，断开狭窄的间断并消除细的突出物。闭操作使轮廓线更为光滑，但与开操作相反的是，它通常消除细小的空洞，填补轮廓线中的断裂。3．2 细化去枝对平滑后的边界图像进行细化处理，得到单像素宽度的边界图像。待细化线条边缘存在突起时，细化后在突起处形成多余的分枝短线以及零星的伪边界细公后形成的短截线都必须去除。首先设定短线的长度阈值为L，假如线条长度大于阈值L则认为该线条是原线图中的线条而非多余多线；假如其值小于或等于阈值L，则认为该线条为多余短线将其去除。
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