对于一个多元函数
，用最速下降法（又称梯度下降法）求其极小值的迭代格式为
其中
为负梯度方向，即最速下降方向，αkαk为搜索步长。
一般情况下，最优步长αkαk的确定要用到线性搜索技术，比如精确线性搜索，但是更常用的是不精确线性搜索，主要是Goldstein不精确线性搜索和Wolfe法线性搜索。
为了调用的方便，编写一个Python文件，里面存放线性搜索的子函数，命名为linesearch.py，这里先只编写了Goldstein线性搜索的函数，关于Goldstein原则，可以参看最优化课本。
线性搜索的代码如下（使用版本为Python3.3）：
'''线性搜索子函数'''import numpy as npimport randomdef goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t): flag=0 a=0 b=alpham fk=f(x) gk=df(x) phi0=fk dphi0=np.dot(gk,d) alpha=b*random.uniform(0,1) while(flag==0): newfk=f(x+alpha*d) phi=newfk if(phi-phi0<=rho*alpha*dphi0): if(phi-phi0>=(1-rho)*alpha*dphi0): flag=1 else: a=alpha b=b if(b<alpham): alpha=(a+b)/2 else: alpha=t*alpha else: a=a b=alpha alpha=(a+b)/2 return alpha
上述函数的输入参数主要包括一个多元函数f，其导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d，返回值是根据Goldstein准则确定的搜索步长。
我们仍以Rosenbrock函数为例，即有
于是可得函数的梯度为
最速下降法的代码如下：
"""最速下降法Rosenbrock函数函数 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)"""import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport randomimport linesearchfrom linesearch import goldsteinsearchdef rosenbrock(x): return 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2def jacobian(x): return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 给定的函数plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线def steepest(x0): print('初始点为:') print(x0,'/n') imax = 20000 W=np.zeros((2,imax)) W[:,0] = x0 i = 1 x = x0 grad = jacobian(x) delta = sum(grad**2) # 初始误差 while i<imax and delta>10**(-5): p = -jacobian(x) x0=x alpha = goldsteinsearch(rosenbrock,jacobian,p,x,1,0.1,2) x = x + alpha*p W[:,i] = x grad = jacobian(x) delta = sum(grad**2) i=i+1 print("迭代次数为:",i) print("近似最优解为:") print(x,'/n') W=W[:,0:i] # 记录迭代点 return Wx0 = np.array([-1.2,1])W=steepest(x0)plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹plt.show()为了实现不同文件中函数的调用，我们先用import函数导入了线性搜索的子函数，也就是下面的2行代码
import linesearchfrom linesearch import goldsteinsearch
当然，如果把定义goldsteinsearch函数的代码直接放到程序里面，就不需要这么麻烦了，但是那样的话，不仅会使程序显得很长，而且不便于goldsteinsearch函数的重用。
此外，Python对函数式编程也支持的很好，在定义goldsteinsearch函数时，可以允许抽象的函数f，df作为其输入参数，只要在调用时实例化就可以了。与Matlab不同的是，传递函数作为参数时，Python是不需要使用@将其变为函数句柄的。
运行结果为
初始点为:[-1.2 1. ] 迭代次数为: 1504近似最优解为:[ 1.00318532 1.00639618]迭代点的轨迹为
由于在线性搜索子程序中使用了随机函数，初始搜索点是随机产生的，因此每次运行的结果不太相同，比如再运行一次程序，得到
初始点为:[-1.2 1. ] 迭代次数为: 1994近似最优解为:[ 0.99735222 0.99469882]
所得图像为
以上这篇用Python实现最速下降法求极值的方法就是小编分享给大家的全部内容了，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持武林网。
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